Эллипс под углом и координаты точки наклонного эллипса

эллипс под углом

С разной периодичностью меня спрашивают о том, как нарисовать эллипс под углом и найти координаты точки наклонного эллипса. Также, участились запросы к сайту на аналогичную тему. Видимо, пора разобраться с этим вопросом.

Эллипс под углом

Ничего более подходящего, чем аффинные преобразования, человечество для этих целей еще не придумало. Аффинные трансформации подвергают все точки плоскости единому преобразованию. В нашем случае, это будет композиция преобразований поворота и переноса.

Как поворачивать разнообразные фигуры можно посмотреть в статье «Как повернуть изображение. GDI, GDI+, Direct2D, JavaScript». Вместо изображения надо просто нарисовать эллипс. Будет ровно тот же эффект.

В нашем случае будем использовать GDIPlus. Чтобы нарисовать эллипс под углом предлагается следующий код.

Он немного отличается от представленного в статье метода. Там используется класс TGPMatrix. Здесь происходит обращение напрямую к методам холста TGPGraphics. Не смотря на небольшие отличия, принцип абсолютно такой же.

Рис.1. Эллипс под углом 51 град. Полуось a=5, полуось b=2.

В статье «Вращение прямоугольника вокруг произвольной точки» рассматривается метод, как производить поворот вокруг любой точки. Описанный в статье способ можно смело применять к рисованию эллипса.

В интерфейсе проекта по ссылке в конце статьи за оранжевую точку можно вращать эллипс мышкой.

Если угол от полуоси a

Ранее, в этой статье, было расписано, как найти координаты точки эллипса по углу. Вкратце напомню. Там мы находили параметр через арктангенс, который затем использовали в параметрическом уравнении эллипса.

Рис.2. Координаты точки эллипса, отстоящей на 15 градусов от полуоси a.

Теперь представим аффинное преобразование. Ко всем точкам плоскости, в том числе и точкам эллипса, применяется одно и то же преобразование. Следовательно, применяя аффинное преобразование поворота к найденным координатам точки, мы получим новые координаты для эллипса под углом.

Подсмотрим в справочнике аффинную матрицу поворота:

Latex formula

Latex formula

Применив дополнительно эти расчеты к полученным координатам видим следующее:

Рис.3. Координаты точки эллипса, повернутого на 51 градус, отстоящей на 15 градусов от полуоси a.

Видим, что точка по прежнему лежит на эллипсе, и реально отстоит от полуоси a на 15 градусов.

Рис.4. Трансформация точки эллипса

Но в жизни требуется все таки искать координаты точки эллипса, отстоящей на определенный угол от оси X.

Угол точки от оси X

Имеется ввиду следующее:

Рис.5. Координаты точки эллипса, повернутого на 51 градус, отстоящей на 15 градусов от полуоси X.

Как мы уже убедились из предыдущего пункта, формулы аффинного преобразования однозначно переводят точку эллипса в точку эллипса под углом. При этом сохраняется угол между прямой, проведенной из центра через точку P и полуосью a. Теперь задача состоит в том, чтобы найти такую точку P’ на эллипсе, которая при повороте эллипса будет отстоять от оси X на заданный угол.

Рис.6. При повороте эллипса точка P’ переходит в точку P, отстоящей от оси X на 15 градусов

Для этого необходимо рассчитать новый угол для этой точки. Этот угол высчитывается очевидным образом как:

γ (Расчетный угол) = β (Угол точки) — (Угол поворота)

Рис.7. Расчет угла, для которого находятся координаты точки наклонного эллипса

В итоге, порядок действий таков:

  1. Находим угол для не-повернутого эллипса, который будет соответствовать точке повернутого эллипса, как разность требуемого угла для точки и угла поворота эллипса.
  2. Считаем координаты для этого угла, через нахождение параметра, с дальнейшей подстановкой в параметрическое уравнение эллипса.
  3. К найденным координатам применяем аффинное преобразование поворота.

В коде это выглядит так:

Как использовать результат

Очевидно, что полученные координаты актуальны для нулевого центра эллипса и реальных размеров полуосей а и b. Как отобразить точку на экране?

У нас есть центр эллипса в экранных координатах FCenter и коэффициент масштаба FScale. Как он вычисляется можно посмотреть в исходниках по ссылке ниже. Экранные координата точки эллипса под углом вычисляются так:

Если центр эллипса не нулевой

В этом случае надо просто к полученным координатам прибавить координаты центра эллипса.


Скачать

Друзья, спасибо за внимание!

Исходник (zip) 176 Кб. Delphi 7, XE 7, XE 10, XE 11

Для XE открываем файл .dpr и спокойно build’им.

Пустой подкаталог _dcu в архиве — для Delphi 7.

Исполняемый файл (zip) 292 Кб.

Буду чрезвычайно признателен за комментарии, подписку в телеграме и поддержку.


5 5 голоса
Рейтинг статьи
Подписаться
Уведомить о
guest
2 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Олег
Олег
6 месяцев назад

Огромный Респект, Роман! Очень практичная статья, такая тема остается актуальной в моей работе. На выходных почитаю внимательнее и разберусь с исходниками.

2
0
Не нашли ответ на свой вопрос? Задайте его здесь!...x