Сборник основных формул нахождения площади треугольника. Также рассмотрены частные случаи прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников. Если посмотреть выводы формул, можно заметить, что мир, в основном, вращается вокруг одной формулы:
Обозначения
Изначально хотелось сохранить стиль из сборника Бейкера. Поэтому площадь треугольника будем обозначать через Δ, стороны треугольника через маленькие a, b и c, углы(и вершины), противоположные сторонам, через большие A, B и C. Полупериметр треугольника обозначаем через маленькую s. Для прочих площадей будем использовать более привычную большую S.
Площадь любого треугольника

По стороне и высоте

где a – любая сторона треугольника, ha – высота, опущенная на эту сторону.
1 2 3 |
// Площадь треугольника по стороне и // высоте, опущенной на эту сторону Area = 0.5*a*h |

Достроив треугольник CAB до параллелограмма CAEB, получим его площадь как:
таким образом:
По двум сторонам и углу между ними

Где a и с – любые стороны треугольника, B-угол между ними.
Если привязаться к картинке, то верно аналогичное равенство:
a и b – любые стороны треугольника, C-угол между ними.
1 2 3 4 5 |
// Площадь треугольника по двум сторонам // и углу между ними Area = 0.5*a*c*sin(B) // или Area = 0.5*a*b*sin(C) |
Видим, что высота равна:
Подставляем в формулу по стороне и высоте к ней:
И получаем искомую формулу
По трём сторонам. Формула Герона
где s — полупериметр:
1 2 3 4 5 |
// Полупериметр треугольника s = 0.5*(a+b+c) // Площадь треугольника по трём сторонам // Формула Герона Area = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) |
В треугольника сумма двух сторон должна быть хоть чуток, но больше третьей стороны. Поэтому не боимся, что под корнем может оказаться отрицательное число.

Используем закон косинусов, который утверждает следующее:
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем следующее:
Используя формулу нахождения площади, сделаем подстановку:
По стороне и прилежащим к ней углам

Где a — любая сторона треугольника, B и C — углы, к ней прилежащие.
1 2 3 |
// Площадь треугольника по стороне // и прилежащим к ней углам Area = 0.5 * sqr(a) * sin(B) * sin(C) / sin(PI-(B+C)) |
По радиусу вписанной окружности

где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр:
1 2 3 4 5 |
// Полупериметр треугольника s = 0.5*(a+b+c) // Площадь треугольника по // радиусу (r) вписанной окружности Area = s * r |
По радиусу описанной окружности

где R — радиус описанной окружности.
1 2 3 |
// Площадь треугольника по // радиусу описанной окружности Area = (a*b*c)/(4*R) |
Через координаты: Псевдоскалярное произведение

Если вершины треугольника заданы координатами, то площадь треугольника можно посчитать по следующей формуле:
Где координаты треугольника представлены как A(X3, Y3), B(X2, Y2), C(X1, Y1).
1 2 3 4 5 6 7 8 |
// Координаты вершин треугольника // (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) // Псевдоскалярное произведение пополам Area = 0.5 * abs( (x2 - x1)*(y3 - y1) - (x3 - x1)*(y2 - y1) ) |

Чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно найти площадь параллелепипеда ADBC, и затем разделить её на 2. Утверждается, что площадь параллелепипеда равна псевдоскалярному произведению векторов a̅ и b̅: a̅ ∧ b̅ = axby-aybx, где ax, ay, bx, by — проекции векторов a и b на оси X и Y.
Докажем, что площадь параллелепипеда равна axby-aybx.
Площадь прямоугольника CEDF равна произведению его сторон
Для нахождения площади многоугольников CADF и CBDE используем формулу площади треугольника S=1/2 aha, и формулу площади трапеции S=1/2 (a+b)*h.
Чтобы найти площадь параллелепипеда ADBC, надо из площади прямоугольника CEDF вычесть площади фигур CADF и CBDE:
Этот очаровательный вывод нашёл тут (youtube).
Совсем немного теории
Источники:
Псевдоскалярное произведение (Вики)
Элементы векторной графики. Веретенников В.Н.

Псевдоскаля́рное произведе́ние (косо́е произведе́ние) векторов a и b на ориентированной евклидовой плоскости — число a ∨ b = | a | ⋅ | b | sin θ, где θ = ∠ ( a , b ) — угол вращения (против часовой стрелки, то есть в положительном направлении) от a к b. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то полагают a ∨ b = 0.
В этом определении стоит обратить внимание на то, что понимается под углом θ. Здесь это не просто обычный угол между векторами, который может принимать значения только от 0 до 180. Здесь это угол, на который нужно повернуть вектор именно в определённом направлении: против часовой стрелки, и поэтому он может принимать значения от 0 до 360. Синус такого угла вполне может быть отрицательным, и более того, псевдоскалярное произведение будет менять знак при перемене множителей местами.
Длина (модуль) векторного произведения неколлинеарных векторов, а и b численно равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах:

Таким образом, площадью треугольника будет являться половина площади параллелограма:

Через координаты: Метод шнурка

Если вершины треугольника заданы координатами, то можно применить метод шнурка и посчитать площадь треугольника по следующей формуле:
Где координаты треугольника представлены как A(X3, Y3), B(X2 Y2), C(X1, Y1).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
// Координаты вершин треугольника // (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) // Формула шнурка Area = 0.5 * abs( x1*(y2 - y3) + x2*(y3 - y1) + x3*(y1 - y2) ) |
Если раскрыть скобки в формуле псевдоскалярного произведения векторов и сгруппировать, то получим эту формулу.
Рассмотрим формулу нахождения площади треугольника через псевдоскалярное произведение векторов:
Раскроем скобки суммы произведений.
И подставим в верхнее выражение:
Получили искомую формулу по методу «шнурка».
Площадь прямоугольного треугольника

Через катеты

где a, b – катеты прямоугольного треугольника. Очевидно, что катет b — это ha, высота, опущенная на сторону a. Поэтому, это частный случай общей формулы площади треугольника по стороне и высоте.
По гипотенузе и острому углу

Где: с – гипотенуза; A, B – величины острых углов прямоугольного треугольника.
1 2 3 |
Area = 0.25 * sqr(c) * sin(2*A) // или Area = 0.25 * sqr(c) * sin(2*B) |
Берём формулу , заменяем
, получаем
Подсматриваем в вики формулу перемножения синуса на косинус.
Получаем, что
Таким образом,
Аналогичный вывод можно проделать для угла B.
А можно учесть, что
Формула Герона для прямоугольного треугольника
где a и b — катеты, s — полупериметр:
Формула носит декоративно-прикладной характер. С практической стороны, нам уже известны два катета, поэтому намного проще использовать формулу:
Мне не пригодилась ни разу. Предполагаю, что формула необходима для вывода других формул, но я таких случаев не знаю
1 2 3 4 5 6 |
// Полупериметр треугольника s = 0.5*(a+b+c) // Формула Герона для прямоугольного треугольника Area = (s-a)*(s-b) // После всех преобразований получим Area = 0.5*a*b |
Раскрываем скобки, получаем дробь:
Вычисляем числитель:
Подставляем в дробь:
Из чего делаем вывод, что формула Герона, как минимум, верна, и что «в лоб» её использовать не надо, потому что есть более лучший способ.
По катету и и прилежащему острому углу

Где a и b — катеты, A и B — и прилежащие к ним острые углы.
1 2 3 4 5 |
// Площадь прямоугольного треугольника // по катету и прилежащему острому углу Area = 0.5*sqr(a)*tan(B) // или Area = 0.5*sqr(b)*tan(A) |
Видим, что
Подставляем в формулу:
По радиусу вписанной окружности

где r-радиус вписанной окружности, с-гипотенуза
1 2 3 |
// Площадь прямоугольного треугольника // по гипотенузе и радиусу вписанной окружности Area = r*(r+c) |

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол C — прямой), в который вписана окружность с центром в точке O и радиусом r. Катеты AC = b, BC = a, гипотенуза AB = c.
Надо доказать, что
Вспомним, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны.
Проведём OM перпендикулярно с, ON перпендикулярно b, OP перпендикулярно а.
Смежные стороны четырёхугольника CNOP равны (ON = OP = r), все углы прямые, значит, CNOP — квадрат.
Тогда NC = CP = r, AN = AM = b-r (по свойству длин отрезков касательных). Аналогично BM = BP = a-r.
Поскольку AB = AM + BM, получим: c = (b-r) + (a-r), отсюда r = (a+b-c) / 2.
Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:
Полупериметр:
Площадь любого треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника:
По отрезкам гипотенузы

Где d и e — отрезки гипотенузы, на которые её делит радиус вписанной окружности.
1 2 3 |
// Площадь прямоугольного треугольника // по отрезкам гипотенузы Area = d*e |

Полупериметр треугольника:
Радиус вписанной окружности:
Следовательно:
Площадь прямоугольника, образованного сторонам AC и BC, равна (см. вывод формулы радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника):
Помним, что площадь любого треугольника равна:
По радиусу описанной окружности
Как таковой специальной формулы нет. Для прямоугольного треугольника действует та же формула, как и для любого треугольника:
Просто, если учесть, что , и подставить в формулу выше, то получим обычную формулу нахождения площади прямоугольного треугольника:
Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник (вики)
Основная формула неизменна: .
Разбирать её смысла нет, это сделано выше.
По боковым сторонам и углу между ними

Где с — любая из боковых сторон, A — угол между боковыми сторонами, противоположный основанию a.
1 2 3 |
// Площадь равнобедренного треугольника // по боковой стороне и углу между боковыми сторонами Area = 0.5 * sqr(c) * sin(A) |
Формула Герона для равнобедренного треугольника
Где a — основание, c — боковая сторона (c=b)
1 2 |
// Формула Герона для равнобедренного треугольника Area = 0.25 * a * sqrt(4*sqr(c) - sqr(a)) |
Вспоминаем формулу Герона для произвольного треугольника
где s — полупериметр:
Стороны b и c равны, таким образом получаем
Выносим очевидный квадрат из-под корня, получаем:
По основанию и углу между боковыми сторонами

Где, a — основание, A — угол между боковыми сторонами
1 2 3 |
// Площадь равнобедренного треугольника // по основанию и углу между боковыми сторонами Area = 0.25 * sqr(a)/tan(A/2) |
По радиусу вписанной окружности
Где, a — основание, b — боковая сторона , r — радиус вписанной окружности
1 2 3 |
// Площадь равнобедренного треугольника // по радиусу вписанной окружности Area = (0.5*a+b)*r |
Берём формулу для любого треугольника:
Подставляем равные стороны в формулу полупериметра:
Подставляем в формулу, получаем
По радиусу описанной окружности
Где, a — основание, b — боковая сторона , R — радиус описанной окружности
1 2 3 |
// Площадь равнобедренного треугольника // по радиусу описанной окружности Area = 0.25*a*sqr(b)/R |
Берём формулу для любого треугольника:
Так как b и c равны, заменяем b*c на b2 :
Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник (вики)
Основная формула неизменна: .
Разбирать её смысла нет, это сделано выше.
Все доказательства строятся вокруг того, что все углы в равностороннем треугольнике равны 60° = π/3. Половина угла равна 30° = π/6.

По стороне

Где a — сторона треугольника
1 2 3 |
// Площадь равностороннего треугольника // по любой стороне Area = sqr(a)*0.25*sqrt(3) = 0.4330127*sqr(a) |
Возьмём формулу произвольного треугольника для двух сторон и угла между ними, и просто подставим значения: c=a, B=60°:
По высоте

Где h — высота треугольника
1 2 |
// Площадь равностороннего треугольника по высоте Area = sqr(h)/sqrt(3) = sqr(h)/sqrt(3) = 0.5773503*sqr(h) |
По радиусу вписанной окружности

Где r — радиус вписанной окружности
1 2 3 |
// Площадь равностороннего треугольника // по радиусу вписанной окружности Area = 3*sqrt(3)*sqr(r) = 5.19615242271*sqr(r) |

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров. Поэтому, для половины угла равностороннего треугольника верно равенство:
Следовательно:
Подставим найденной значение стороны треугольника в формулу площади по радиусу вписанной окружности и полупериметру:
По радиусу описанной окружности

Где R — радиус описанной окружности
1 2 3 |
// Площадь равностороннего треугольника // по радиусу описанной окружности Area = 3/4*sqrt(3)*sqr(R) = 1.29903811*sqr(R) |

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров. Поэтому, для половины угла равностороннего треугольника верно равенство:
Следовательно:
Подставим найденной значение стороны треугольника в формулу площади по радиусу описанной окружности и сторонам треугольника:
Скачать шпаргалки
Друзья! Спасибо за внимание!

Произвольный треугольник (jpg)
Прямоугольный треугольник (jpg)
Равнобедренный треугольник (jpg)
Равносторонний треугольник (jpg)
Сводная шпаргалка (jpg) (та, что на картинке, только больше в два раза)
Интерактивная шпаргалка (pdf) (кликаем на формулу, приходим на эту страницу, к формуле и выводу) Внимание! На телефонах и планшетах скорее всего ссылки внутри PDF не будут работать!