Формулы площади треугольника

Сборник основных формул нахождения площади треугольника. Также рассмотрены частные случаи прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников. Если посмотреть выводы формул, можно заметить, что мир, в основном, вращается вокруг одной формулы:

Latex formula
Содержание скрыть

Обозначения

Изначально хотелось сохранить стиль из сборника Бейкера. Поэтому площадь треугольника будем обозначать через Δ, стороны треугольника через маленькие a, b и c, углы(и вершины), противоположные сторонам, через большие A, B и C. Полупериметр треугольника обозначаем через маленькую s. Для прочих площадей будем использовать более привычную большую S.

Площадь любого треугольника


По стороне и высоте

Latex formula

где a – любая сторона треугольника, ha – высота, опущенная на эту сторону.

Вывод

Достроив треугольник CAB до параллелограмма CAEB, получим его площадь как:

Latex formula

таким образом:

Latex formula

[свернуть]

По двум сторонам и углу между ними

Latex formula

Где a и с – любые стороны треугольника, B-угол между ними.

Если привязаться к картинке, то верно аналогичное равенство:

Latex formula

a и b – любые стороны треугольника, C-угол между ними.

Вывод

Видим, что высота равна: Latex formula

Подставляем в формулу по стороне и высоте к ней: Latex formula

И получаем искомую формулу

Latex formula

[свернуть]

По трём сторонам. Формула Герона

Latex formula

где s — полупериметр:

Latex formula

В треугольника сумма двух сторон должна быть хоть чуток, но больше третьей стороны. Поэтому не боимся, что под корнем может оказаться отрицательное число.

Вывод формулы Герона: Закон синусов

Используем закон косинусов, который утверждает следующее:

Latex formula

Используя основное тригонометрическое тождество, получаем следующее:

Latex formula

Используя формулу нахождения площади, сделаем подстановку:

Latex formula

Посмотреть на Вики

[свернуть]

По стороне и прилежащим к ней углам

Latex formula

Где a — любая сторона треугольника, B и C — углы, к ней прилежащие.

Вывод

По теореме синусов можем записать такое тождество:

Latex formula

Подставляем в формулу площади: Latex formula

Latex formula

или

Latex formula

[свернуть]

По радиусу вписанной окружности

Latex formula

где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр:

Latex formula

Вывод

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника, получим следующую сумму площадей:

Latex formula

[свернуть]

По радиусу описанной окружности

Latex formula

где R — радиус описанной окружности.

Вывод

По расширенной теореме синусов:

Latex formula

Подставляем в формулу площади: Latex formula

Latex formula

[свернуть]

Через координаты: Псевдоскалярное произведение

Если вершины треугольника заданы координатами, то площадь треугольника можно посчитать по следующей формуле:

Latex formula

Где координаты треугольника представлены как A(X3, Y3), B(X2, Y2), C(X1, Y1).

Вывод

Чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно найти площадь параллелепипеда ADBC, и затем разделить её на 2. Утверждается, что площадь параллелепипеда равна псевдоскалярному произведению векторов и : a̅ ∧ b̅ = axby-aybx, где ax, ay, bx, by — проекции векторов a и b на оси X и Y.

Докажем, что площадь параллелепипеда равна axby-aybx.

Площадь прямоугольника CEDF равна произведению его сторон

Latex formula

Для нахождения площади многоугольников CADF и CBDE используем формулу площади треугольника S=1/2 aha, и формулу площади трапеции S=1/2 (a+b)*h.

Latex formula

Latex formula

Чтобы найти площадь параллелепипеда ADBC, надо из площади прямоугольника CEDF вычесть площади фигур CADF и CBDE:

Latex formula

Этот очаровательный вывод нашёл тут (youtube).

[свернуть]

Совсем немного теории

Немного теории

Источники:

Псевдоскалярное произведение (Вики)

Элементы векторной графики. Веретенников В.Н.

Псевдоскаля́рное произведе́ние (косо́е произведе́ние) векторов a и b на ориентированной евклидовой плоскости — число a ∨ b = | a | ⋅ | b | sin θ, где θ = ∠ ( a , b ) — угол вращения (против часовой стрелки, то есть в положительном направлении) от a к b. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то полагают a ∨ b = 0.

В этом определении стоит обратить внимание на то, что понимается под углом θ. Здесь это не просто обычный угол между векторами, который может принимать значения только от 0 до 180. Здесь это угол, на который нужно повернуть вектор именно в определённом направлении: против часовой стрелки, и поэтому он может принимать значения от 0 до 360. Синус такого угла вполне может быть отрицательным, и более того, псевдоскалярное произведение будет менять знак при перемене множителей местами.

Длина (модуль) векторного произведения неколлинеарных векторов, а и b численно равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах:

Таким образом, площадью треугольника будет являться половина площади параллелограма:

Latex formula

[свернуть]

Через координаты: Метод шнурка

Если вершины треугольника заданы координатами, то можно применить метод шнурка и посчитать площадь треугольника по следующей формуле:

Latex formula

Где координаты треугольника представлены как A(X3, Y3), B(X2 Y2), C(X1, Y1).

Если раскрыть скобки в формуле псевдоскалярного произведения векторов и сгруппировать, то получим эту формулу.

Раскрываем скобки и группируем

Рассмотрим формулу нахождения площади треугольника через псевдоскалярное произведение векторов:

Latex formula

Раскроем скобки суммы произведений.

Latex formula

И подставим в верхнее выражение:

Latex formula

Получили искомую формулу по методу «шнурка».

[свернуть]

Площадь прямоугольного треугольника


Через катеты

Latex formula

где a, b – катеты прямоугольного треугольника. Очевидно, что катет b — это haвысота, опущенная на сторону a. Поэтому, это частный случай общей формулы площади треугольника по стороне и высоте.


По гипотенузе и острому углу

Latex formula

Где: с – гипотенуза; A, B – величины острых углов прямоугольного треугольника.

Вывод

Берём формулу Latex formula, заменяем Latex formula, получаем

Latex formula

Подсматриваем в вики формулу перемножения синуса на косинус.

Получаем, что Latex formula

Таким образом,

Latex formula

Аналогичный вывод можно проделать для угла B.

А можно учесть, что Latex formula

Latex formula

[свернуть]

Формула Герона для прямоугольного треугольника

Latex formula

где a и b — катеты, s — полупериметр:

Latex formula

Формула носит декоративно-прикладной характер. С практической стороны, нам уже известны два катета, поэтому намного проще использовать формулу: Latex formula

Мне не пригодилась ни разу. Предполагаю, что формула необходима для вывода других формул, но я таких случаев не знаю

Приводим к нормальной формуле

Раскрываем скобки, получаем дробь:

    Latex formula

      Вычисляем числитель:

      Latex formula

      Подставляем в дробь:

      Latex formula

      Из чего делаем вывод, что формула Герона, как минимум, верна, и что «в лоб» её использовать не надо, потому что есть более лучший способ.

      [свернуть]

      По катету и и прилежащему острому углу

      Latex formula

      Где a и b — катеты, A и B — и прилежащие к ним острые углы.

      Вывод

      Видим, что Latex formula

      Подставляем в формулу: Latex formula

      [свернуть]

      По радиусу вписанной окружности

      Latex formula

      где r-радиус вписанной окружности, с-гипотенуза

      Вывод радиуса вписанной окружности

      Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол Cпрямой), в который вписана окружность с центром в точке O и радиусом r. Катеты AC = b, BC = a, гипотенуза AB = c.

      Надо доказать, что Latex formula

      Вспомним, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны.

      Проведём OM перпендикулярно с, ON перпендикулярно b, OP перпендикулярно а.

      Смежные стороны четырёхугольника CNOP равны (ON = OP = r), все углы прямые, значит, CNOP — квадрат.

      Тогда NC = CP = r, AN = AM = b-r (по свойству длин отрезков касательных). Аналогично BM = BP = a-r.

      Поскольку AB = AM + BM, получим: c = (b-r) + (a-r), отсюда r = (a+b-c) / 2.

      [свернуть]
      Вывод

      Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника: Latex formula

      Полупериметр: Latex formula

      Площадь любого треугольника: Latex formula

      Площадь прямоугольного треугольника: Latex formula

      [свернуть]

      По отрезкам гипотенузы

      Latex formula

      Где d и e — отрезки гипотенузы, на которые её делит радиус вписанной окружности.

      Вывод

      Полупериметр треугольника: Latex formula

      Радиус вписанной окружности: Latex formula

      Следовательно: Latex formula

      Площадь прямоугольника, образованного сторонам AC и BC, равна (см. вывод формулы радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника):

      Latex formula

      Помним, что площадь любого треугольника равна: Latex formula

      Latex formula

      [свернуть]

      По радиусу описанной окружности

      Как таковой специальной формулы нет. Для прямоугольного треугольника действует та же формула, как и для любого треугольника:

      Latex formula

      Почему нет специальной формулы

      Просто, если учесть, что Latex formula, и подставить в формулу выше, то получим обычную формулу нахождения площади прямоугольного треугольника:

      Latex formula

      [свернуть]

      Площадь равнобедренного треугольника

      Равнобедренный треугольник (вики)

      Основная формула неизменна: Latex formula.

      Разбирать её смысла нет, это сделано выше.


      По боковым сторонам и углу между ними

      Latex formula

      Где с — любая из боковых сторон, A — угол между боковыми сторонами, противоположный основанию a.

      Вывод

      Снова берём за основу формулу:

      Latex formula

      Только сейчас опустим высоту на сторону c, и помним, что b=с. Таким образом, основанием у нас становится c, а высота на неё равна Latex formula.

      Формула Latex formula, преобразуется в

      Latex formula

      [свернуть]

      Формула Герона для равнобедренного треугольника

      Latex formula

      Где a — основание, c — боковая сторона (c=b)

      Вывод

      Вспоминаем формулу Герона для произвольного треугольника

      Latex formula

      где s — полупериметр:

      Latex formula

      Стороны b и c равны, таким образом получаем

      Latex formula

      Выносим очевидный квадрат из-под корня, получаем:

      Latex formula

      [свернуть]

      По основанию и углу между боковыми сторонами

      Latex formula

      Где, a — основание, A — угол между боковыми сторонами

      Вывод

      В который раз берём за основу формулу:

      Latex formula

      Высоту ha, опущенную на основание a, можно выразить следующим образом:

      Latex formula

      Подставляем в формулу, получаем:

      Latex formula

      [свернуть]

      По радиусу вписанной окружности

      Latex formula

      Где, a — основание, b — боковая сторона , r — радиус вписанной окружности

      Вывод

      Берём формулу для любого треугольника:

      Latex formula

      Подставляем равные стороны в формулу полупериметра:

      Latex formula

      Подставляем в формулу, получаем

      Latex formula

      [свернуть]

      По радиусу описанной окружности

      Latex formula

      Где, a — основание, b — боковая сторона , R — радиус описанной окружности

      Вывод

      Берём формулу для любого треугольника:

      Latex formula

      Так как b и c равны, заменяем b*c на b2 :

      Latex formula

      [свернуть]

      Площадь равностороннего треугольника

      Равносторонний треугольник (вики)

      Основная формула неизменна: Latex formula.

      Разбирать её смысла нет, это сделано выше.

      Все доказательства строятся вокруг того, что все углы в равностороннем треугольнике равны 60° = π/3. Половина угла равна 30° = π/6.


      По стороне

      Latex formula

      Где a — сторона треугольника

      Вывод

      Возьмём формулу произвольного треугольника для двух сторон и угла между ними, и просто подставим значения: c=a, B=60°:

      Latex formula

      [свернуть]

      По высоте

      Latex formula

      Где h — высота треугольника

      Вывод

      Видим, что для равностороннего треугольника, где все углы равны Latex formula, тангенс этого угла равен соотношению:

      Latex formula

      Воспользуемся формулой, вокруг которой вертится мир

      Latex formula

      Подставим значение для a:

      Latex formula

      [свернуть]

      По радиусу вписанной окружности

      Latex formula

      Где r — радиус вписанной окружности

      Вывод

      Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров. Поэтому, для половины угла равностороннего треугольника верно равенство:

      Latex formula

      Следовательно:

      Latex formula

      Подставим найденной значение стороны треугольника в формулу площади по радиусу вписанной окружности и полупериметру:

      Latex formula

      [свернуть]

      По радиусу описанной окружности

      Latex formula

      Где R — радиус описанной окружности

      Вывод

      Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров. Поэтому, для половины угла равностороннего треугольника верно равенство:

      Latex formula

      Следовательно:

      Latex formula

      Подставим найденной значение стороны треугольника в формулу площади по радиусу описанной окружности и сторонам треугольника:

      Latex formula

      [свернуть]

      Скачать шпаргалки

      Друзья! Спасибо за внимание!

      Произвольный треугольник (jpg)

      Прямоугольный треугольник (jpg)

      Равнобедренный треугольник (jpg)

      Равносторонний треугольник (jpg)

      Сводная шпаргалка (jpg) (та, что на картинке, только больше в два раза)

      Интерактивная шпаргалка (pdf) (кликаем на формулу, приходим на эту страницу, к формуле и выводу) Внимание! На телефонах и планшетах скорее всего ссылки внутри PDF не будут работать!

      5 2 голоса
      Рейтинг статьи
      Подписаться
      Уведомить о
      guest

      0 комментариев
      Старые
      Новые Популярные
      Межтекстовые Отзывы
      Посмотреть все комментарии
      0
      Не нашли ответ на свой вопрос? Задайте его здесь!...x