Матрицы аффинных преобразований на плоскости

Эллипс под углом

Аффинное преобразование (АП) – вид геометрической трансформации, при которой сохраняется параллельность прямых и соотношение длин отрезков прямой. Углы и расстояния между точками не сохраняются.

АП евклидова пространства — взаимно однозначное точечное отображение плоскости или пространства на себя, при котором:

  • прямые (плоскости) переходят в прямые (плоскости)
  • пересекающиеся прямые(плоскости)в пересекающиеся
  • параллельные — в параллельные.

Аффинное преобразование называется изометрическим, если оно сохраняет расстояния между точками.

Преобразование на плоскости точки (x, y) в точку (x′, y′) осуществляется по формулам:

Latex formula Latex formula

Или то же самое в матричном виде:

Latex formula

Где: M11, M12, M21, M22, Dx, Dy – коэффициенты, определяющие специфику АП.

Для получения сложного преобразования необходимо последовательно перемножить матрицы всех преобразований, в него входящих. Результат зависит от порядка следования матриц.

Операции АП:

  • Поворот
  • Сдвиг
  • Перенос
  • Масштабирование
  • Отражение

Поворот (Rotate)

МатрицаФункции
Latex formulaLatex formula
Latex formula

Сдвиг (Shear)

МатрицаФункции
Latex formulaLatex formula
Latex formula

Перенос (Translate)

МатрицаФункции
Latex formulaLatex formula
Latex formula

Масштабирование (Scaling)

МатрицаФункции
Latex formulaLatex formula
Latex formula

Отражение (Reflection)

Latex formula

Latex formula
Latex formula


5 6 голоса
Рейтинг статьи
Подписаться
Уведомить о
guest
2 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Alexey
Alexey
2 месяцев назад

Круто! Отличный материал и стиль изложения. Так держать!
Единственное, были бы не лишними примеры в коде, и это, надеюсь, материал для следующей статьи?

Последний раз редактировалось 2 месяцев назад Alexey ем
2
0
Оставьте комментарий! Напишите, что думаете по поводу статьи.x
()
x