Матрицы аффинных преобразований на плоскости

Аффинное преобразование (АП) – вид геометрической трансформации, при которой сохраняется параллельность прямых и соотношение длин отрезков прямой. Углы и расстояния между точками не сохраняются.

АП евклидова пространства — взаимно однозначное точечное отображение плоскости или пространства на себя, при котором:

прямые (плоскости) переходят в прямые (плоскости)
пересекающиеся прямые(плоскости)в пересекающиеся
параллельные — в параллельные.

Аффинное преобразование называется изометрическим, если оно сохраняет расстояния между точками.

Преобразование на плоскости точки (x, y) в точку (x′, y′) осуществляется по формулам:

$\displaystyle x'\; =\; x\; \times \;M11\; + \;y\; \times\; M21\; + \;Dx\;$ $\displaystyle y'\; =\; x\; \times \;M12\; + \;y\; \times\; M22\; + \;Dy\;$

Или то же самое в матричном виде:

$\displaystyle \begin{pmatrix} x' & y' & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} M11 & M12 & 0\\ M21 & M22 & 0\\ Dx & Dy & 1\end{pmatrix}$

Где: M11, M12, M21, M22, Dx, Dy – коэффициенты, определяющие специфику АП.

Для получения сложного преобразования необходимо последовательно перемножить матрицы всех преобразований, в него входящих. Результат зависит от порядка следования матриц.

Операции АП:

Поворот
Сдвиг
Перенос
Масштабирование
Отражение

Поворот (Rotate)

Матрица	Функции
$\displaystyle \begin{pmatrix} cos \; \alpha & sin\;\alpha & 0\\ -sin \; \alpha & cos\;\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$	$\displaystyle x'\; =\; x\; \times \;cos \; \alpha -\;y\; \times\;sin \; \alpha$ $\displaystyle y'\; =\; x\; \times \;sin \; \alpha + \;y\; \times\;cos \; \alpha$

X = x*cos(alpha) - y*sin(alpha)
Y = x*sin(alpha) + y*cos(alpha)

1 2	X = xcos(alpha) - ysin(alpha) Y = xsin(alpha) + ycos(alpha)

Сдвиг (Shear)

Матрица	Функции
$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \; & tg\;\alpha & 0\\ tg\;\beta & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$	$\displaystyle x'\; = x\; + y\;\times tg\; \beta$ $\displaystyle y'\; =\; x\; \times \;tg \; \alpha + \;y$

X = x + y*tan(beta)
Y = x*tan(alpha) + y

1 2	X = x + ytan(beta) Y = xtan(alpha) + y

Перенос (Translate)

Матрица	Функции
$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \; & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ Dx & Dy & 1\end{pmatrix}$	$\displaystyle x'\; = x\; + \; Dx$ $\displaystyle y'\; =\; y\; +\; Dy$

X = x + Dx
Y = y + Dy

1 2	X = x + Dx Y = y + Dy

Масштабирование (Scaling)

Матрица	Функции
$\displaystyle \begin{pmatrix} Sx \; & 0 & 0\\ 0 & Sy & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$	$\displaystyle x'\; = x\; \times Sx$ $\displaystyle y'\; = y\; \times Sy$

X = x * Sx
Y = y * Sy

1 2	X = x * Sx Y = y * Sy

Отражение (Reflection)

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

5 17 голоса

Рейтинг статьи

2 комментариев

Старые

Новые Популярные

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии

Alexey

4 лет назад

Круто! Отличный материал и стиль изложения. Так держать!
Единственное, были бы не лишними примеры в коде, и это, надеюсь, материал для следующей статьи?

Последний раз редактировалось 4 лет назад BlackWitcher ем

Ответить

Roman

Автор

Ответить на Alexey

4 лет назад

Уже опубликовал могучую статью в «Теории и Практике») Там и исходники, и расшифровка матриц, надеюсь, понравится.

Ответить