Как ни странно, но для нахождения длины дуги эллипса нет какой-то определенной функции, как в случае длины дуги окружности, или нахождения координат точки на эллипсе. Это интегральное уравнение.
Калькулятор
Интегральное уравнение будем решать как обычно делается в подобных случаях: суммировать очень маленькие значения, которые получаются в результате работы некоей функции, на заданном диапазоне данных, которые наращиваются на чрезвычайно малую постоянную величину. Эта малая величина задается вызывающей стороной. В конце статьи есть рабочий пример с исходниками, в котором можно поиграться с этой «малостью».
Длина дуги, как сумма хорд
Самое простое, что может прийти в голову, это двигаться от начала дуги к ее концу с небольшим наращиванием угла отклонения, считать хорду и прибавлять ее к накапливаемой сумме.
Формула такова:
Проще говоря, находим координаты двух точек на эллипсе, отстоящих друг от друга на некий малый угол, по ним находим хорду, как гипотенузу получившегося прямоугольного треугольника.
В коде выглядит так:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 |
//***************************************************************** // Нахождение длины дуги эллипса, заданного прямоугольником ARect // По аналогии с GDI+, углы в градусах, по часовой. Хордами // ∑ √ (Δx² + Δy²) //***************************************************************** function CalcArcEllipseLen1(ARect : TxRect; // эллипс startAngle : Extended; // старт.угол sweepAngle : Extended; // угол дуги deltaAngle : Extended=0.01 // дискрета ): Extended; var tmp : Extended; // наращиваемый угол pnt : TxPoint; // новые координаты по tmp val : TxPoint; // координаты в предыдущей итерации dw : Extended; // убывающий параметр цикла l : extended; // длина текущей хорды begin // переводим градусы в радианы startAngle := startAngle * pi/180; sweepAngle := sweepAngle * pi/180; deltaAngle := deltaAngle * pi/180; // инициализируем tmp := startAngle; dw := sweepAngle; result := 0; // стартовая координата val := CalcEllipsePointCoord(ARect,tmp); repeat // уменьшаем параметр цикла dw := dw - deltaAngle; // определяем значение угла if dw < 0 then tmp := tmp + (deltaAngle+dw) else tmp := tmp + deltaAngle; // считаем новую точку на эллипсе pnt := CalcEllipsePointCoord(ARect,tmp); // длина хорды l := sqrt(sqr(val.X-pnt.x)+sqr(val.Y-pnt.y)); // сумма, интеграл result := result+l; val := pnt; until dw < 0; end; |
Проверим с планетарным размахом. По последним данным Международной Службы Вращения Земли (IERS — 1996) большая экваториальная полуось Земли равна 6 378 136,49 м, а полярная малая — 6 356 751,75 м.
Посчитаем периметр меридиана каким-нибудь онлайн-калькулятором, получаем 40 007 859.543 (некоторые могут дать другое число, т.к. используют приближенные формулы для вычисления периметра).
Представленная выше функция за 109 милисекунд выдала результат 40 007 996.265 при дельте 0.001. Это нельзя назвать точным результатом.
Длина дуги, как интеграл
Длиной некоторой дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина наибольшего ее звена стремится к нулю:
Таким образом, длина дуги эллипса может быть описана интегральным уравнением:
Используя параметрическое уравнение эллипса, приходим к уравнению:
Где t1 и t2 – параметры для начала и конца дуги параметрического уравнения эллипса. Параметром является некий угол к оси абсцисс. Что такое и как найти параметр для угла эллипса подробно изложено тут.
Зная, что (cos t)’ = — sin t, (sin t)’ = cos t (подробный вывод приведен тут и тут), получаем следующую формулу:
Выводов достаточно, чтобы написать вторую функцию нахождения длины дуги эллипса.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
// Получить разницу между углами A2-A1 function CalcSweepAngle (A1,A2 : Extended; ANormalize : boolean = true) : Extended; begin result := A2-A1; if (result < 0) and (ANormalize) then result := 2*pi + result; end; |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 |
//***************************************************************** // Нахождение длины дуги эллипса, заданного через a и b // Сумма от корня суммы квадратов производных, через sin/cos по ∂t // ∑ [√(∂x²/∂t² + ∂y²/∂t²)] ∂t //***************************************************************** function CalcArcEllipseLen2( a,b : extended; // полуоси startAngle : Extended; // старт.угол sweepAngle : Extended; // угол откл. deltaAngle : Extended=0.01 // дискрета ): Extended; var sn,cs: Extended;// синус, косинус tmp : Extended; // наращиваемый угол bet : Extended; // старый параметр dw : Extended; // убывающий параметр цикла t : Extended; // новый параметр l : extended; // значение функции в t begin // переводим градусы в радианы startAngle := startAngle * pi/180; sweepAngle := sweepAngle * pi/180; deltaAngle := deltaAngle * pi/180; // инициализируем tmp := startAngle; dw := sweepAngle; result := 0; // параметр для начального угла SinCos(tmp,sn,cs); bet := ArcTan2(a*sn, b*cs); repeat // уменьшаем параметр цикла dw := dw - deltaAngle; // определяем значение угла if dw < 0 then tmp := tmp + (deltaAngle+dw) else tmp := tmp + deltaAngle; // находим параметр для угла SinCos(tmp,sn,cs); t := ArcTan2(a*sn, b*cs); // разница между параметрами dt=t-bet bet := CalcSweepAngle(bet,t); // эллиптический интеграл II рода SinCos(t,sn,cs); l := sqrt ( sqr(a)*sqr(sn) + sqr(b)*sqr(cs))*bet; // запоминаем параметр bet := t; // сумма, интеграл result := result+l; until dw <= 0; end; |
Результат при dt = 0.001 равен 40 007 859,543 за 109 милисекунд. Отлично!
Длина дуги через эксцентриситет
Это еще не окончательный вид уравнения. В ряде интересных параметров для эллипса есть такая числовая характеристика, показывающая степень отклонения эллипса от окружности, как эксцентриситет. Формула для эллипса:
Чем эксцентриситет ближе к нулю, т.е. разница между a и b меньше, тем больше эллипс похож на окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
Выразим b2 = a2 (1 — e2), подставим в формулу (5), помним, что sin2t + cos2t = 1 (справочник [1]), убираем a2 за знак корня, и, как постоянную величину, за знак интеграла тоже, получаем:
Пишем функцию, ожидаем более шустрого выполнения:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 |
//***************************************************************** // Нахождение длины дуги эллипса, заданного через a и b // По аналогии с GDI+, углы в градусах, по часовой. Считаем E(t,e) // a ∑ [√(1-e²cos²t)] ∂t //***************************************************************** function CalcArcEllipseLen3( a,b : extended; // полуоси startAngle : Extended; // старт.угол sweepAngle : Extended; // угол откл. deltaAngle : Extended=0.01 // дискрета ): Extended; var sn,cs: Extended;// синус, косинус tmp : Extended; // наращиваемый угол bet : Extended; // старый параметр dw : Extended; // убывающий параметр цикла ex : Extended; // эксцентриситет t : Extended; // новый параметр l : extended; // значение функции в t begin // переводим градусы в радианы startAngle := startAngle * pi/180; sweepAngle := sweepAngle * pi/180; deltaAngle := deltaAngle * pi/180; // считаем эксцентриситет ex := 1 -sqr(b)/sqr(a); // инициализируем tmp := startAngle; dw := sweepAngle; result := 0; // параметр для начального угла SinCos(tmp,sn,cs); bet := ArcTan2(a*sn, b*cs); repeat // уменьшаем параметр цикла dw := dw - deltaAngle; // определяем значение угла if dw < 0 then tmp := tmp + (deltaAngle+dw) else tmp := tmp + deltaAngle; // находим параметр для угла SinCos(tmp,sn,cs); t := ArcTan2(a*sn, b*cs); // разница между параметрами dt=t-bet bet := CalcSweepAngle(bet,t); // эллиптический интеграл II рода l := sqrt (1-ex*sqr(cos(t)))*bet; // запоминаем параметр bet := t; // сумма, интеграл result := result+l; until dw <= 0; result := a*result; end; |
Результат 40 007 859.543, за чуть меньшее время, 94 милисекунды.
Длина дуги через эксцентриситет с подготовкой
Возьмем за основу последнюю функцию. Алгоритм построен так, что в цикле идем от стартового угла, к конечному, на каждой итерации подсчитывая параметр. А если сразу посчитать начальный и конечный параметры и определить условие выхода из цикла? Этим мы однозначно снизим вычислительную нагрузку внутри цикла.
То есть, вместо того, чтобы идти из точки A в точку B, мы заранее считаем параметры t1 и t2. И в цикле больше нахождением параметров не занимаемся, а только считаем очередное приращение.
Берем код последней реализации и улучшаем:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 |
//***************************************************************** // Нахождение длины дуги эллипса, заданного через a и b // По аналогии с GDI+, углы в градусах, по часовой. Считаем E(t,e) // a ∑ [√(1-e²cos²t)] ∂t // Но параметры и угол отклонения параметра считаем заранее //***************************************************************** function CalcArcEllipseLen4( a,b : extended; // полуоси startAngle : Extended; // старт.угол sweepAngle : Extended; // угол откл. deltaAngle : Extended=0.01 // дискрета ): Extended; var sn,cs: Extended;// синус, косинус tmp : Extended; // наращиваемый угол bet : Extended; // старый параметр dw : Extended; // убывающий параметр цикла ex : Extended; // эксцентриситет l : extended; // значение функции в t begin // переводим градусы в радианы startAngle := startAngle * pi/180; sweepAngle := sweepAngle * pi/180; deltaAngle := deltaAngle * pi/180; // считаем эксцентриситет ex := 1 -sqr(b)/sqr(a); // инициализируем tmp := startAngle; result := 0; // параметр для начального угла SinCos(tmp,sn,cs); bet := ArcTan2(a*sn, b*cs); // считаем параметр для цикла SinCos(tmp+sweepAngle,sn,cs); dw := ArcTan2(a*sn, b*cs); dw := CalcSweepAngle(bet, dw); // для корректной работы цикла, запоминаем в бет старт.параметр tmp := bet; // если sweepAngle = 360, результат будет равен 0 // если sweepAngle > 360, результат будет от оставшейся разницы if sweepAngle >= 2*pi then dw := 2*pi + dw; repeat // уменьшаем параметр цикла dw := dw - deltaAngle; bet := tmp; // определяем значение угла if dw < 0 then tmp := tmp + (deltaAngle+dw) else tmp := tmp + deltaAngle; // разница между параметрами dt=tmp-bet bet := CalcSweepAngle(bet,tmp); // эллиптический интеграл II рода l := sqrt (1-ex*sqr(cos(tmp)))*bet; // сумма, интеграл result := result+l; until dw <= 0; result := a*result; end; |
Результат — 40 007 859,543 за 30 милисекунд! Мысль явно здравая.
Длина дуги и хорошо забытые хорды
Но вернемся к сумме хорд. Что там-то не так? Казалось бы, все просто, понятно и должно работать, но результат, мягко говоря, не точен.
Работая с вещественными типами, результат зависит от «мелкости» приращения, от разрядности используемых типов. Накапливаемые погрешности, неточное представление дробного числа и прочие прелести чисел с плавающей запятой.
Тип Extended – самый точный из существующих в Delphi (и, как следствие, самый медленный). Перепишем нахождение длины дуги хордами, используя этот тип, и без вызовов внешних функций нахождения координат на эллипсе.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 |
//***************************************************************** // Нахождение длины дуги эллипса, заданного через a и b // По аналогии с GDI+, углы в градусах, по часовой. Считаем хордами // Абсолютно то же самое, что (1), но типы и точность изменены // ∑ √ (Δx² + Δy²) //***************************************************************** function CalcArcEllipseLen5( a,b : extended; // полуоси startAngle : Extended; // старт.угол sweepAngle : Extended; // угол откл. deltaAngle : Extended=0.01 // дискрета ): Extended; var sn,cs: Extended;// синус, косинус tmp : Extended; // наращиваемый угол dw : Extended; // убывающий параметр цикла l : extended; // длина текущей дуги vx,vy : extended; px,py : Extended; begin // переводим градусы в радианы startAngle := startAngle * pi/180; sweepAngle := sweepAngle * pi/180; deltaAngle := deltaAngle * pi/180; // инициализируем tmp := startAngle; dw := sweepAngle; result := 0; // находим параметр (некий угол) для уравнения SinCos(tmp,sn,cs); SinCos (ArcTan2(a*sn, b*cs), sn, cs); vX := a * cs; vY := b * sn; repeat // уменьшаем параметр цикла dw := dw - deltaAngle; // определяем значение угла if dw < 0 then tmp := tmp + (deltaAngle+dw) else tmp := tmp + deltaAngle; // считаем новую точку на эллипсе SinCos(tmp,sn,cs); SinCos (ArcTan2(a*sn,b*cs),sn,cs); pX := a * cs; pY := b * sn; // длина хорды l := sqrt(sqr(pX-vx)+sqr(pY-vy)); // сумма, интеграл result := result+l; vx := px; vy := py; until dw < 0; end; |
Результат 40 007 859.542 за 94 милисекунды. Разница в одну тысячную, и такое же время. Весьма неплохо!
Практика
Скачать исходник + исполняемый файл
Качаем, запускаем. Видим такое окно:
При запуске в полях полуосей находятся «земные» значения. Эллипс сильно смахивает на окружность. Можно сразу нажать «Расчет», увидеть значения полярного меридиана, и начинать уже эксперименты.
Для начала проверим корректность получаемых результатов. Я попытался найти какие-нибудь онлайн калькуляторы для подсчета длины дуги эллипса, в которых можно было бы указать стартовый угол и произвольное отклонение, либо просто пару углов, определяющих дугу. Но все калькуляторы считают периметр эллипса. А с произвольной дугой как-то… не встретились.
Картинка из вики:
Заскриним несколько моментов и посчитаем корректность:
Введем a=2, b=0.5, стартовый угол равен 0, отклонение θ=5.642.
Видим результат у всех один 8.055. Т.е правы все.
Аналогично поступаем с остальными тремя скринами:
- отклонение θ=1.154. У нас получился результат 1.333. На скрине видим результат s=1.334. Как так? Давайте увеличим «Дельту» в 10 раз, т.е. вместо 0.001, сделаем 0,01. У всех интегральных 2) 3) 4) результат станет 1.334. В то время, как у 1) и 5), т.е. примитивно-неинтегрально-хордовых останется 1.333.
Какой результат более истинный? Смотрите сами. Уменьшение дельты, т.е. угла для подсчетов, ведет к более точному результату. На 0.001 интегральные функции выдали результат как хордовые. При более грубой дельте, интегральные чуть изменились, а хордовые верны своему результату.
Сделаем дельту очень мелкой, равной 0.00001. Результат у всех, кроме первой, тот же, 1.333.
Лично я начинаю верить 5-ой формуле.
- отклонение θ= 206. У нас получился результат 4.322. На скрине результат s= 4.322. Дельта 0.001. Все отлично.
- отклонение θ= 4,488. У нас получился результат 5,989. На скрине результат s= 5,989. Дельта 0.001. Все отлично.
Вывод : Формулы 2-5 работают как надо. Фаворит 5. За меньшее время, т.е. при более «грубой» дельте, находит правильный результат.
Проверим на ужасных эллипсах. Т.е. где эксцентриситет очень близок к единице.
Можем заметить следующее: при 0.00001 функции 2 и 3 дали результат, близкий к результату функции 4, полученный при дельте 0.001. При дельте 0.00001 функция 4 дала результат, близкий к результату функции 5. Сама же функция 5 слабо колеблется в показаниях, что при дельте в 0.001, что при 0.00001.
Аналогичную ситуацию можно пронаблюдать при сильно вытянутом эллипсе:
Таким образом, имеет смысл использовать функции 4 и 5. Одну, как представительницу интегрального сословия, самую быструю и более точную из них. Другую, как представительницу очевидного и простого метода, работающую, между тем, лучше своих интегральных коллег при минимальных ресурсных затратах.
Небольшая инструкция
Правая кнопка мыши задает стартовый угол. Удерживая правую кнопку мыши можно «прогуляться» по эллипсу. Конечная точка дуги будет следовать за стартовой точкой, отстоя на заданный ранее угол. Если поставить галку на «сохранять параметрическое отклонение», параметрический угол между t1 и t2 станет неизменен. Очень полезно пронаблюдать, как будет меняться сектор.
Левая кнопка мыши задает конечную точку дуги, т.е. угол отклонения.
Скачать
Скачать исходник + исполняемый файл
Друзья, спасибо за внимание!
Подписывайтесь на телегу.
Надеюсь, материал был полезен.
Длина дуги, как интеграл Нельзя ли расписать вызов функции CalcSweepAngle без угловых скобок?
bet := <a href=«#CalcSweepAngle»>CalcSweepAngle</a>(bet,t);
Пытаюсь переписать на с++ 🙂
Упс… Остался небольшой рудимент. Спасибо )
Сама функция:
А чем не понравилась функция CalcArcEllipseLen5 ? Она быстрая и простая.
Мне близки слова автора, в предисловии: «Как ни странно, но для нахождения длины дуги эллипса нет какой-то определенной функции, как в случае длины дуги окружности». Я уже не первый день размышляю на тему точной формулы для периметра эллипса, выраженной в форме классического геометрического уравнения, как в случае длины дуги окружности. Основное моё полагание — формула не должна содержать элементы интегрирования и дифференцирования. То есть она не должна выходить за рамки основных постулатов Евклидовой геометрии. Можно ли в принципе надеяться, что в рамках Евклидовой геометрии существует возможность нахождения геометрической функции, выражающей периметр эллипса? Или кто то уже знает запрет на существование такой функции, например, как запрет на одновременное определение координаты и скорости частицы микромира? Это я о принципе неопределённости Гейзенберга. Существует ли такой «принцип неопределённости периметра эллипса», который накладывает запрет на существование геометрической функции, выражающей длину замкнутой кривой, называемой эллипсом? Если нет — то ещё не всё потеряно. Если у кого-то есть по этому поводу какие либо мысли, прошу поделиться.
Мне
Мне кажется,Роман, я раньше Вас отвечу на этот вопрос.
Моему пониманию реальности близки «хорошо забытые хорды»
Думаю, что в коде допущена ошибка или неточность.
Пример:
Полуоси: 6378136.49 и 6356751.75
Находим длину дуг: от 0 до 90 и от 90 до 180 градусов
Получаем результаты дуг: 10001966.7518095 и 10001963.0194683
Длины дуг эллипса в первой и во второй четверти должны совпадать, но у нас разница в 3 метра.
Очень странные результаты. Проверил в калькуляторе и в прилагаемой к статье проге.
Результаты такие:
При
a: 6378136.49
b: 6356751.75
Длина дуги равна
В проге:
0-90: 10 001 964,886
90-180: 10 001 964,886
В калькуляторе:
0-90: 10 001 964.468952391
90-180: 10 001 964.468954036
Что значит cos(t) под корнем? t без числа.
cos(t) — это часть формулы нахождения координаты x по параметру t. Возможно, это результат преобразования производной, sin(t)’ = cos(t). Что за формула, надо смотреть контекст, из которого этот вопрос родился.
t — грубо говоря, это угол, на котором располагалась точка круга, до его деформации в эллипс с центром в начале координат.
Находим такие углы для заданных стартового и конечного углов, и суммируем всё, что находим между ними.
Как определить t,t1,t2 в уравнении через эксцентриситет?
У нас есть угол S, определяющий начало дуги. И угол F, определяющий конец дуги. Эллипс имеет полуоси a и b.
t1 — это параметр для угла S. Его находим так:
SinCos(S, sn, cs);
t1 := ArcTan2(a*sn, b*cs);
https://ip76.ru/theory-and-practice/ellipse-point-coord/
t2 — это параметр для угла F. Находим аналогично.
t — параметр между t1 и t2. Перед циклом t=t1. В цикле наращиваем t на очень малую величину, пока не достигнем t2.
В цикле суммируем результат. Это и есть интеграл.
Можно по действиям как в 5 классе?
Хорошо. Но это займёт определённое время. Постараюсь на этой неделе. Но это не точно )
Я попытался. Если есть вопросы, замечания, непонятки, всё приветствуется:
https://ip76.ru/theory-and-practice/arc-ellipse-length/ellipse-arc-len/