Формулы сложения углов

Титл для статьи

Формулы сложения углов позволяют выразить функции суммы или разности двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.

Являются одними из самых важных и используемых формул в тригонометрии. С их помощью выводится огромное количество других не менее важных и занятных формул.

Формулы

1.  Косинус суммы двух углов

1.1  Latex formula

1.2  Latex formula


2. Синус суммы двух углов

2.1  Latex formula

2.2  Latex formula


3. Тангенс суммы двух углов

3.1  Latex formula

3.2  Latex formula


4. Котангенс суммы двух углов

4.1  Latex formula

4.2  Latex formula


Доказательство

Классическое доказательство

Предлагаю посмотреть видео.Разложено по полочкам, максимально доходчиво и просто. Автор — Барауля Оксана Петровна, учитель математики, высшей квалификационной категории. И судя по качеству материала, очень заслуженной категории.

Вывод формулы сложения углов. Видео на youtube

Альтернативное доказательство

В единичной окружности с началом координат в точке О (0;0) повернем точку А на угол α. Радиус окружности равен 1. Таким образом OA = 1. Теперь от луча ОА отложим угол β. Получаем точку на окружности B. Луч OB также равен 1.

Единичная окружность с началом координат в точке (0;0)

Из точки B проведем прямую, перпендикулярную OA. Таким образом, получаем прямоугольный треугольник OCB, где С – точка пересечения перпендикулярной прямой из точки B с лучом OA.

Через точку В проведем прямую, перпендикулярную оси ординат единичной окружности. Прямая пересекает ось ординат в точке P, образуя с ней прямой угол. Таким образом получается прямоугольный треугольник OPB, с углом PBO, равным α + β.

Выражение размеров через основные тригонометрические функции

Распределение размеров отрезков теперь выглядит следующим образом:

  • Latex formula
  • Latex formula
  • Latex formula
  • Latex formula

Внимание! OE = cos(α) и AE = sin(α) здесь приведены для полноты картины, далее они не понадобятся, т.к. в расчетах не участвуют и не должны вас путать.

Задача: найти чему равны отрезки PB и PO?

Из точки С проведем прямую, перпендикулярную оси абсцисс единичной окружности. Она пересечет ось абсцисс в точке D. Таким образом, получаем еще один прямоугольный треугольник ODC.

Из точки С проведем прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через точки P и B. В результате получаем точку F и новый прямоугольный треугольник CFB, с углом BCF, равным α. (Угол Latex formula)

Схема нахождения значений для PB = cos (α + β) и PO = sin (α + β)

Таким образом, нахождение PB и PO сводится к нахождению длин OD, BF, CD, FC. Как нетрудно увидеть на рисунке:

  • Latex formula
  • Latex formula
Окончательный вывод формул

В прямоугольном треугольнике ODC отрезок OC является гипотенузой. При этом, OC является катетом, прилежащим к углу β, в прямоугольном треугольнике OCB, и равен OB × cos(β) = 1 × cos(β) = cos(β).  Таком образом катет OD при угле α равен cos(α) × OC, т.е. OD = cos(α) cos(β)

Аналогично, находится катет Latex formula

Для прямоугольного треугольника CFB отрезок CB, также является гипотенузой, являясь одновременно противолежащим катетом для угла β в прямоугольном треугольнике OCB, и равным, соответственно, sin(β). Получаем следующее:

  • Latex formula
  • Latex formula

В итоге:

  • Latex formula
  • Latex formula

Формулы доказаны

Latex formula Latex formula

P.S. Получив эти формулы, остальные выводятся, как в классическом доказательстве.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *