Формулы сложения углов позволяют выразить функции суммы или разности двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.
Являются одними из самых важных и используемых формул в тригонометрии. С их помощью выводится огромное количество других не менее важных и занятных формул.
Формулы
1. Косинус суммы двух углов
1.1
1.2
2. Синус суммы двух углов
2.1
2.2
3. Тангенс суммы двух углов
3.1
3.2
4. Котангенс суммы двух углов
4.1
4.2
Доказательство
Классическое доказательство
Предлагаю посмотреть видео.Разложено по полочкам, максимально доходчиво и просто. Автор — Барауля Оксана Петровна, учитель математики, высшей квалификационной категории. И судя по качеству материала, очень заслуженной категории.
Альтернативное доказательство
В единичной окружности с началом координат в точке О (0;0) повернем точку А на угол α. Радиус окружности равен 1. Таким образом OA = 1. Теперь от луча ОА отложим угол β. Получаем точку на окружности B. Луч OB также равен 1.
Из точки B проведем прямую, перпендикулярную OA. Таким образом, получаем прямоугольный треугольник OCB, где С – точка пересечения перпендикулярной прямой из точки B с лучом OA.
Через точку В проведем прямую, перпендикулярную оси ординат единичной окружности. Прямая пересекает ось ординат в точке P, образуя с ней прямой угол. Таким образом получается прямоугольный треугольник OPB, с углом PBO, равным α + β.
Распределение размеров отрезков теперь выглядит следующим образом:
Внимание! OE = cos(α) и AE = sin(α) здесь приведены для полноты картины, далее они не понадобятся, т.к. в расчетах не участвуют и не должны вас путать.
Задача: найти чему равны отрезки PB и PO?
Из точки С проведем прямую, перпендикулярную оси абсцисс единичной окружности. Она пересечет ось абсцисс в точке D. Таким образом, получаем еще один прямоугольный треугольник ODC.
Из точки С проведем прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через точки P и B. В результате получаем точку F и новый прямоугольный треугольник CFB, с углом BCF, равным α. (Угол 
Таким образом, нахождение PB и PO сводится к нахождению длин OD, BF, CD, FC. Как нетрудно увидеть на рисунке:
В прямоугольном треугольнике ODC отрезок OC является гипотенузой. При этом, OC является катетом, прилежащим к углу β, в прямоугольном треугольнике OCB, и равен OB × cos(β) = 1 × cos(β) = cos(β). Таком образом катет OD при угле α равен cos(α) × OC, т.е. OD = cos(α) cos(β)
Аналогично, находится катет
Для прямоугольного треугольника CFB отрезок CB, также является гипотенузой, являясь одновременно противолежащим катетом для угла β в прямоугольном треугольнике OCB, и равным, соответственно, sin(β). Получаем следующее:
В итоге:
Формулы доказаны
P.S. Получив эти формулы, остальные выводятся, как в классическом доказательстве.