Если есть гигантский массив данных, то неизбежно встаёт вопрос о быстром поиске данных в нём. Очевидно, что надо строить дерево поиска. Существует множество разновидностей подобных деревьев. Для K-мерных величин, например, 2D или 3D координат, неплохим решением является Kd-Tree.
Волею судеб, возникла необходимость разобраться в этом вопросе. Я бы с удовольствием взял уже готовую Delphi-реализацию, но таковой и толковой на просторах инета не оказалось.
Какие задачи хотел решить:
- Размер обрабатываемых массивов должен исчисляться миллионами точек.
- Построение дерева за минимально короткое время. На миллион точек должно уходить меньше секунды.
- Время поиска ближайшей точки должно составлять около 0.5 мсек.
Рассуждения
Понятно, что узлы дерева должны направлять поиск точки и однозначно приводить к результату. Таким образом, узел должен содержать информацию о своих дочерних узлах. В этом случае он называется ветвью. Либо, если дочерних узлов нет, такой узел называется листом и содержит конечный набор K-мерных величин.
В листе дерева содержится информация о точках. Массив данных у меня уже есть. Поэтому в листьях дерева должны содержаться индексы массива.
В ветвях дерева должна содержаться дополнительная информация, которая позволит мне принять верное решение, что это мой узел и мне с ним работать дальше.
В общем случае, рекурсия поиска должна выглядеть так:
Спрашиваю узел: Дескать, у меня есть такие координаты, это к тебе?
Он: Не, не моё. Спроси соседа.
Сосед: О, это моё. Заходи.
Захожу в этот узел, а там ещё узлы. И так до тех пор, пока узлов не окажется вовсе, а окажутся индексы, из которых я выберу наиболее подходящий.
Построение Kd-tree в теории
Kd означает, что дерево построено в k-мерном (k-dimensional) информационном пространстве. Проще говоря, трехмерным кубом рассматриваемое пространство значений не ограничивается. Теоретически, это может быть масса-температура-материал-состояние. Валюта-номинал-время. X-Y-R-G-B для изображений (любопытно было бы поэкспериментировать). Зачем нужен в перечисленных измерениях Kd-tree, это уже второй вопрос.
Чтобы не делать вечер слишком томным, остановимся на двумерном пространстве X-Y.
В двух словах
Итак, у нас есть один объемлющий прямоугольник всех точек в массиве (Xmin,Ymin) — (Xmax,Ymax), у которого ширина равна W = Xmax-Xmin, и высота H = Yмax-Ymin. Это однозначно корневой узел.
Выбираем некоторое значение Sх в пределах W в качестве разделителя по X.
После этого добавляем в корневой узел ветвь для точек, которые находятся слева от разделителя Sx , т.е. содержатся в прямоугольнике (Xmin,Ymin) — (Xmin+Sх,Ymax). Назовём такой узел левым. И ветвь для точек, находящихся справа от Sx, в прямоугольнике (Xmin+Sх,Ymin) — (Xmax,Ymax). Это правый узел.
Затем для каждого получившегося узла выбираем делитель по Y, делим, и добавляем в каждый по два узла. Если для предыдущего левого узла выбрать делитель Sy, то в него добавилось бы ещё два узла, чьи прямоугольники выглядели бы так: (Xmin,Ymin) — (Xmin+Sx,Ymin+Sy) и (Xmin,Ymin+Sy) — (Xmin+Sx,Ymax).
Затем снова выбираем измерение X, делим, добавляем левый-правый узлы. И так далее до тех пор, пока число точек в очередном получившемся прямоугольнике не стало меньше заранее заданного количества. На этом мы останавливаемся и сохраняем в узел-лист индексы всех попавших в него точек.
Возникают вопросы:
- Как выбрать текущее измерение;
- Как выбрать делитель в текущем измерении.
Выбор текущего измерения
В самом простом случае последовательно перебираем измерения: X,Y,Z,…X,Y,Z, и т.д. Если количество измерений у нас DimCount, а текущая глубина дерева ADepth, то текущее измерение D вычисляется так:
|
1 2 |
// Последовательный перебор измерений D := ADepth mod DimCount; |
Однако, тут может возникнуть ситуация, когда в текущем измерении значения всех точек одинаковы. Например, начинаем с измерения X, а все точки в нашем многомиллионном массиве выстроены по вертикальной линии, т.е. различаются только координатой Y. Тогда все точки попадут в один узел-лист и никакого упорядочивания массива не будет. Быстрый поиск ближайшей точки станет медленней полного перебора.
Очевидно, что для выбора текущего измерения надо найти такое измерение, где разница между текущими граничными значениями максимальна.
Вернёмся снова к двумерному пространству X-Y. На момент деления левого узла (рис.2) текущими граничными значениями были (Xmin,Ymin) — (Xmin+Sх,Ymax). Чтобы выбрать измерение для деления мы должны найти разницы dX = Xmin+Sх-Xmin и dY = Ymax-Ymin, затем сравнить dX и dY и если dX>dY, то за текущее берём измерение X, в противном случае — Y.
В случае, когда измерений у нас произвольное количество DimCount, текущие минимальные и максимальные граничные значения можно задать массивами AMin(DimCount) и AMax(DimCount). Тогда выбор текущего измерения D можно представить так:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
S := -1; for i := 0 to DimCount-1 do begin V := AMax[i]-AMin[i]; if V > S then begin S := V; D := i; end; end; |
Тут мы предполагаем (на 100% уверены), что значения в AMax не могут быть меньше, чем в AMin, и что количество измерений DimCount однозначно больше нуля.
Выбрать делитель в текущем измерении
Проблема выбора делителя связана с тем, что «прямоугольники» (если мы говорим про X-Y) после деления не должны быть пустыми и точки внутри них должны быть распределены более-менее равномерно.
Естественным решением будет брать медианное значение. Для этого необходимо отсортировать массив по возрастанию и взять его середину. В дальнейшем мы откажемся от этого способа, но это классика. Прежде чем отказываться от классики, надо по крайней мере попытаться и обосновать причины.
Итак, у нас есть массив AIndices: TIntegerDynArray, это массив индексов в массиве К-мерных данных. Есть текущее измерение D, которые мы нашли пунктом выше. Представим К-мерную точку таким типом:
|
1 2 3 |
type PKdPoint =^TKdPoint; TKdPoint = array[0..255] of Single; |
Естественно, мы никогда не будем объявлять переменную типа TKdPoint. Безумное расточительство. Работаем всегда с указателем PKdPoint. Почему не динамический массив? Потому что я сам хочу выделять память и контролировать её освобождение. Мне не нужно интересоваться длиной массива, она у меня и так есть — DimCount.
Выбор делителя S в таком случае можно представить так:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
// Сортировка фрагмента массива длины Len // начиная с индекса i1 TArray.Sort<Integer>(AIndices, TComparer<Integer>.Construct( function (const ALeft, ARight: Integer): Integer begin Result := Sign(PKdPoint(FPoints[ALeft])^[D] - PKdPoint(FPoints[ARight])^[D]); end ), i1, Len); // Середина отсортированного массива j := Len div 2; // Получаем значение разделителя для этого узла S := PKdPoint(FPoints[AIndices[i1+j-1]])^[D]; |
FPoints — это массив K-мерных точек, который передан извне, который мы не меняем и работаем только с его индексами.
i1 — это текущий начальный индекс очередного фрагмента массива индексов
Len — длина этого фрагмента.
Откуда берётся i1 и Len? Это станет ясно чуть ниже.
Архитектура и построение Kd-tree
Узел Kd-tree
В теории предлагается завести две отдельные структуры под ветвь и лист. Я попытался всё уместить в одну структуру — узел Kd-tree.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 |
type // K-мерная точка PKdPoint =^TKdPoint; TKdPoint = array[0..255] of Single; // Узел Kd-Tree PKdNode = ^TKdNode; TKdNode = packed record FAxis: Integer; // Измерение FSplit: Single; // Делитель в измерении // Длина массива индексов // Является одновременно признаком ветвь/лист // Если=0, значит это ветвь FLength: Integer; case Byte of 0: ( // Поля ветви FLeft: PKdNode; // Левое поддерево FRight: PKdNode; // Правое поддерево ); 1: ( // Поля листа FPoints: PIntegerArray; // Массив индексов FIndex: Integer; // Индекс, но не используется ); end; |
Хм… А где же в узле массивы, задающие границы попавших внутрь точек? Что-то типа, FMin(DimCount), FMax(DimCount)? А не нужны. Алгоритм таков, что всё обязано считаться на лету, на основании поля FSplit. И как бы стрёмно это не звучало, это лучше, чем хранить лишнее.
Заголовок класса Kd-Tree
Помещу в спойлер, чтобы текст статьи не разрастался сильно уж
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 |
TKdTree = class strict private FRoot: PKdNode;// Корневой узел FPoints: TList;// Ссылка на список данных FDimCount: Integer; FMaxDepth: Integer; FMinPoint: TSingleDynArray; FMaxPoint: TSingleDynArray; FMaxLeafPointCount: Integer; // Очистить и уничтожить узел procedure ClearNode(var ANode: PKdNode); // Создать и проинициализировать узел function NewNode(D: Integer): PKdNode; // Рекурсивно создать узлы дерева // на основе медианного деления function BuildNode(AIndices: TIntegerDynArray; i1, i2, ADepth: Integer; AMin, AMax: TSingleDynArray): PKdNode; // Рекурсивно создать узлы дерева // на основе половинного деления диапазона function BuildNodeEx(AIndices: TIntegerDynArray; i1, i2, ADepth: Integer; AMin, AMax: TSingleDynArray): PKdNode; public constructor Create; destructor Destroy; override; // Очистить дерево procedure Clear; // Построить дерево procedure Build(APoints: TList; ADimCount: Integer=2; AMaxLeafPointCount: Integer = 8; AModern: Boolean=False); // Найти индекс ближайшей точки function FindNearest(APoint: PKdPoint): Integer; // Нарисовать дерево procedure Draw(ACanvas: TCanvas; ALeafOnly: Boolean); // Сумма квадратов разниц по каждому измерению class function Distance(P1, P2: PKdPoint; D: Integer): Single; // Максимальная глубина дерева property Depth: Integer read FMaxDepth; // Количество измерений property DimCount: Integer read FDimCount; // Массив минимальных значений по измерениям property MinPoint: TSingleDynArray read FMinPoint; // Массив максимальных значений по измерениям property MaxPoint: TSingleDynArray read FMaxPoint; // Максимальное количество точек в листе property MaxLeafPointCount: Integer read FMaxLeafPointCount; end; |
Построение Kd-Tree
В классе дерева есть поля FRoot и FPoints, которые никак не выходят наружу:
|
1 2 3 4 |
// Корневой узел FRoot: PKdNode; // Ссылка на список данных FPoints: TList; |
Всё дерево нам доступно из корневого узла FRoot, по сути именно его мы и создаём при построении Kd-Tree. FPoints — это список K-мерных точек, который будем передавать в параметре APoints: TList. Мы его просто запомним и будем к нему обращаться, когда потребуется узнать какое-то значение какого-то измерения в каком-то индексе .
Перед тем, как вызывать рекурсию построения, необходимо выполнить некоторые подготовительные действия.
Необходимо сформировать массив индексов. Как ранее договорились, мы будем структурировать индексы, не трогая сами данные.
Необходимо определить K-мерные границы массива данных. В терминологии X-Y это переводится, как найти объемлющий прямоугольник.
И запустить рекурсивное построение.
В листинге ниже используется некий параметр AModern — это флаг того, что при рекурсивном построении будет использован «не-классический» метод, о котором речь пойдёт тут.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 |
procedure TKdTree.Build( APoints: TList; ADimCount: Integer=2; AMaxLeafPointCount: Integer = 8; AModern: Boolean=False); var i,j: Integer; A: TIntegerDynArray; V: Single; begin // Очистить дерево Clear; // Проверки на "вшивость" Assert((APoints<>nil) and (APoints.Count>0), 'Нет данных'); Assert(ADimCount>1, 'Мало измерений'); Assert(AMaxLeafPointCount>0, 'Мало точек для листа'); // Запоминаем число измерений FDimCount := ADimCount; // Максимальное количество точек в листе FMaxLeafPointCount := AMaxLeafPointCount; // Максимальная глубина ещё не определена FMaxDepth := -1; // Сохраняем указатель на массив точек FPoints := APoints; // Задаём размеры массивов SetLength(A, APoints.Count); SetLength(FMinPoint, FDimCount); SetLength(FMaxPoint, FDimCount); // Формируем массив индексов for i := 0 to High(A) do A[i] := i; // Инициализируем граничные значения for j := 0 to FDimCount-1 do begin FMinPoint[j] := MaxSingle; FMaxPoint[j] := -MaxSingle; end; // Вычисляем граничные значения for i := 0 to High(A) do for j := 0 to FDimCount-1 do begin V := PKdPoint(FPoints[A[i]])^[j]; if V < FMinPoint[j] then FMinPoint[j] := V; if V > FMaxPoint[j] then FMaxPoint[j] := V; end; // Рекурсивно построить дерево if AModern then // Модерн: деление диапазона пополам FRoot := BuildNodeEx(A, 0, High(A), 0, FMinPoint, FMaxPoint) else // Классика: медианное деление FRoot := BuildNode(A, 0, High(A), 0, FMinPoint, FMaxPoint); end; |
Рекурсивное построение: Классика
Говоря об алгоритме построения Kd-Tree можно смело утверждать, что это алгоритм упорядочивания и структурирования индексов. Вначале мы сортируем весь диапазон индексов, потом определяем некий участок от i1 до i2, далее снова рекурсия, происходит сортировка по новому текущему измерению внутри этого диапазона, потом этот фрагмент снова делится и так далее.
В числе параметров рекурсии присутствуют значения для текущих границ диапазона значений AMin, AMax: TSingleDynArray. Динамический массив — это указатель, поэтому изменяя значение в массиве и рекурсивно вызывая дальнейшее построение, следует вернуть старое значение, которое было до изменения.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 |
function TKdTree.BuildNode(AIndices: TIntegerDynArray; i1, i2, ADepth: Integer; AMin, AMax: TSingleDynArray): PKdNode; var D,j,Len: Integer; V, S: Single; begin // Вычисляем текущее измерение D := ADepth mod DimCount; // Запоминаем максимальную глубину if ADepth > FMaxDepth then FMaxDepth := ADepth; // Создаём новый узел Result := NewNode(D); // Вычисляем длину фрагмента Len := i2-i1+1; // Разница между текущими границами измерения S := AMax[D]-AMin[D]; // Если длина фрагмента меньше либо равна // максимальному количеству точек в листе, // или разница границ измерения ничтожно мала, // то формируем лист и выходим if (Len <= FMaxLeafPointCount) or IsZero(S) then begin // Всё, это больше не ветвь. // Запоминаем длину выделяемой памяти Result^.FLength := Len; // Дай мне вот столько памяти GetMem(Result^.FPoints, Len*SizeOf(Integer)); // Запомнить начальный индекс (не пригодилось) Result^.FIndex := i1; // Перемещаем в выделенную память фрагмент из // переданного массива индексов Move(Pointer(@AIndices[i1])^, Pointer(@Result^.FPoints[0])^, Len*SizeOf(Integer)); // И выходим, ибо делать тут больше нечего exit; end; // Начало блока: Нахождение медианы массива // Сортировка фрагмента массива длины Len // начиная с индекса i1 TArray.Sort<Integer>(AIndices, TComparer<Integer>.Construct( function (const ALeft, ARight: Integer): Integer begin Result := Sign(PKdPoint(FPoints[ALeft])^[D] - PKdPoint(FPoints[ARight])^[D]); end ), i1, Len); // Середина отсортированного массива j := Len div 2; // Получаем значение разделителя для этого узла S := PKdPoint(FPoints[AIndices[i1+j-1]])^[D]; // Конец блока: Нахождение медианы массива // Запоминаем в узел найденный разделитель Result^.FSplit := S; // Запоминаем старое значение максимума V := AMax[D]; // Заменяем максимум найденным значением AMax[D] := S; // Вызываем рекурсию для строительства левого узла Result^.FLeft := BuildNode(AIndices, i1, i1+j-1, ADepth+1, AMin, AMax); // Восстанавливаем старое значение максимума AMax[D] := V; // Запоминаем старое значение минимума V := AMin[D]; // Заменяем минимум найденным значением AMin[D] := S; // Вызываем рекурсию для строительства правого узла Result^.FRight := BuildNode(AIndices, i1+j, i2, ADepth+1, AMin, AMax); // Восстанавливаем старое значение минимума AMin[D] := V; end; |
Как видим, для построения Kd-Tree не требуется запоминать текущие границы областей, они динамически меняются из рекурсии в рекурсию и специально их где-то хранить нет нужды.
Всё работает просто отлично. Но скорость построения ужасная. На миллионе точек у меня получилось порядка 13 секунд.
Разбираемся и понимаем, что львиная часть времени тратится на сортировку:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
// Сортировка фрагмента массива от индекса i1 длины Len TArray.Sort<Integer>(AIndices, TComparer<Integer>.Construct( function (const ALeft, ARight: Integer): Integer begin Result := Sign(PKdPoint(FPoints[ALeft])^[D] - PKdPoint(FPoints[ARight])^[D]); end ), i1, Len); |
Здесь использован алгоритм быстрой сортировки. Но какой бы сортировка не была быстрой, нас она не устраивает. Поэтому, придумываем что-то другое, мимо сортировки и медианного значения.
Рекурсивное построение: Модерн
По большому счёту нам не нужна сортировка в чистом виде. Нам бы взять какое-то значение в качестве разделителя и раскидать индексы по разные стороны от него. Ничего другого на ум не приходит, кроме как взять ранее найденную разницу между границами текущего измерения и поделить на два.
Сразу скажу, это работает. Но как всегда есть нюансы. Можем получить значение разделителя такое, что ни одна точка не попадёт в получившуюся после деления область. Как всегда в таких случаях бывает, код в этом месте сильно разрастается. Там где у нас ранее была лаконичная, красивая и медленная сортировка, вырос куст условий.
Алгоритм тот же самый, но вместо блока «Нахождение медианы массива», в котором жила маленькая сортировка, теперь там достаточно приличный кусок кода. Регионом оформлять внутри процедуры не стал, посчитал некрасивым. Я постарался максимально откомментировать изменившийся участок.
И да, теперь выбор измерения происходит как тут сказано.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 |
function TKdTree.BuildNodeEx(AIndices: TIntegerDynArray; i1, i2, ADepth: Integer; AMin, AMax: TSingleDynArray): PKdNode; // Поменять местами значения procedure Swap(var A,B: Integer); var tmp: Integer; begin tmp := A; A := B; B := tmp; end; var D,i,Len: Integer; LeftCount, RightCount: Integer; V,S: Single; LMax, RMin: Single; LMaxIdx, RMinIdx: Integer; begin // Выбор измерения по максимальной разнице D := 0; S := AMax[D]-AMin[D]; for i := 1 to DimCount-1 do begin V := AMax[i]-AMin[i]; if V > S then begin S := V; D := i; end; end; // Запоминаем максимальную глубину if ADepth > FMaxDepth then FMaxDepth := ADepth; Result := NewNode(D); Len := i2-i1+1; if (Len <= FMaxLeafPointCount) or IsZero(S) then begin Result^.FLength := Len; GetMem(Result^.FPoints, Len*SizeOf(Integer)); Result^.FIndex := i1; Move(Pointer(@AIndices[i1])^, Pointer(@Result^.FPoints[0])^, Len*SizeOf(Integer)); exit; end; // Начало - Вместо блока: Нахождение медианы массива // Вычисляем разделитель S := AMin[D] + S/2; // Счётчики точек для левой и правой областей LeftCount := 0; RightCount := 0; // Чтобы компилятор не доставал хинтами LMaxIdx := i2; RMinIdx := i1; // Инициализация границ для нахождения // максимального и минимального значений // при обработке случая "пустой" области LMax := -MaxSingle; RMin := MaxSingle; // Цикл в диапазоне i1..i2 for i := i1 to i2 do begin V := PKdPoint(FPoints[AIndices[i]])^[D]; // Значение в "левой" части if V <= S then begin // Максимум и его индекс в левой части if V > LMax then begin LMax := V; LMaxIdx := i; end; // Плюс одна точка в левой части Inc(LeftCount); end; // Значение в "правой" части if V > S then begin // Минимум и его индекс в правой части if V < RMin then begin RMin := V; RMinIdx := i; end; // Плюс одна точка в правой части Inc(RightCount); end; end; // В левой части точек не оказалось if LeftCount = 0 then begin // Берём разделителем минимальное правое значение S := RMin; // Закидываем его в самое "лево" фрагмента if RMinIdx <> i1 then Swap(AIndices[i1], AIndices[RMinIdx]); // Определяем индекс разделения LeftCount := i1+1; end else // В правой части точек не оказалось if RightCount = 0 then begin // Берём разделителем максимальное левое значение S := LMax; // Закидываем его в самый конец фрагмента if LMaxIdx <> i2 then Swap(AIndices[i2], AIndices[LMaxIdx]); // Определяем индекс разделения LeftCount := i2; end else // Точки есть и там, и там begin // Инициализируем уже как индексы (не счётчики) LeftCount := i1; RightCount := i2; // Надо раскидать индексы по разные стороны от разделителя // Будем увеличивать левый индекс и уменьшать правый // пока они не встретятся while LeftCount <= RightCount do begin // Значение в измерении D V := PKdPoint(FPoints[AIndices[LeftCount]])^[D]; if V <= S then // Значение слева, всё ок, // просто увеличиваем левый индекс Inc(LeftCount) else begin // Значение оказалось справа, меняем его местами // с текущим левым Swap(AIndices[LeftCount], AIndices[RightCount]); // И уменьшаем правый индекс Dec(RightCount); end; end; end; // Конец - Вместо блока: Нахождение медианы массива // Запоминаем в узел найденный разделитель Result^.FSplit := S; V := AMax[D]; AMax[D] := S; Result^.FLeft := BuildNodeEx(AIndices, i1, LeftCount-1, ADepth+1, AMin, AMax); AMax[D] := V; V := AMin[D]; AMin[D] := S; Result^.FRight := BuildNodeEx(AIndices, LeftCount, i2, ADepth+1, AMin, AMax); AMin[D] := V; end; |
Теперь построение миллиона точек у меня занимает чуть больше 600 мсек. Победа!
Поиск ближайшей точки в Kd-Tree
Вот добрались до самого важного. Ради чего, собственно всё и затевалось.
Общий алгоритм поиска
Нужно рекурсивно пройти все ветви от корневого узла до листа, всякий раз определяя поддерево для спуска — левое или правое.
Поддерево определяется по разделителю в измерении, который хранится в узле. Это поле FSplit в структуре узла. Если значение точки в измерении FAxis, которое также хранится в узле, меньше разделителя, то уходим в левое поддерево, иначе — в правое. Есть нюанс в выборе поддеревьев, он решён ниже, ссылки даю исключительно для нетерпеливых ))) Но лучше читать всё последовательно.
Так продолжается до тех пор, пока мы не натыкаемся на лист. Который можно определить по полю длины массива индексов FLength, которое должно быть в этом случае больше нуля.
В листе мы проходим значения всех точек, индексы которых сохранены в массиве листа, и находим минимальный радиус до искомой точки, ближайшую к которой ищем.
Радиус определяем, как декартово расстояние, то есть сумму квадратов разностей по каждому измерению. Квадратный корень не извлекаем. Экономим время операции.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
class function TKdTree.Distance(P1, P2: PKdPoint; DimCount: Integer): Single; var i: Integer; begin // Сумма квадратов разниц по каждому измерению Result := 0; for i := 0 to DimCount-1 do Result := Result + Sqr(P1^[i]-P2^[i]); end; |
Поиск минимального радиуса до ближайшей точки
Напишем процедуру, которая возвращает индекс найденной ближайшей точки и минимальный радиус.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 |
// Найти подходящий минимальный радиус procedure FindRadius(APoints: TList; ANode: PKdNode; APoint: PKdPoint; ADimCount: Integer; var ARadius: Single; var AIndex: Integer); var i: Integer; r: Single; begin // Это лист if ANode^.FLength>0 then begin // Бежим по точкам листа for i := 0 to ANode^.FLength - 1 do begin // Получаем расстояние до нашей точки r := TKdTree.Distance(APoint, APoints[ANode.FPoints[i]], ADimCount); // Если меньше текущего минимума, сохраняем if r < ARadius then begin // Сохраняем индекс AIndex := ANode.FPoints[i]; // Сохраняем текущий минимум ARadius := r; end; end; end else // Это ветвь // Если значение точки в измерении текущего узла // меньше его разделителя, ищем в левом поддереве if APoint^[ANode.FAxis] <= ANode.FSplit then FindRadius(APoints, ANode.FLeft, APoint, ADimCount, ARadius, AIndex) else // В противном случае, ищем в правом FindRadius(APoints, ANode.FRight, APoint, ADimCount, ARadius, AIndex); end; |
В данном случае APoints: TList — это массив с К-мерными точками. APoint: PKdPoint — K-мерная точка, для которой ищем ближайшую. ADimCount: Integer — число измерений. ANode: PKdNode — текущий рассматриваемый узел.
Возвращает минимальный найденный радиус ARadius: Single и индекс ближайшей точки AIndex: Integer.
В методе класса вызов будет такой:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
function TKdTree.FindNearest(APoint: PKdPoint): Integer; var R: Single; begin Result := -1; if FRoot=nil then exit; R := MaxSingle; // Ищем подходящий минимальный радиус FindRadius(FPoints, FRoot, APoint, FDimCount, R, Result); // Совсем скоро допишем ))) end; |
И что у нас получилось.
Видим, что найден такой радиус, что в него попадают точки, намного ближе расположенные к исходной. Да и ближайшая точка, выделенная желтым цветом, явно не ближайшая.
Очевидно, что помимо «своего» поддерева, надо искать и в соседнем. То есть, надо определять может ли теоретически искомая точка быть в левом/правом поддереве. Предположим, сама точка больше делителя, и по идее, надо искать в правом поддереве. Но точка минус радиус меньше делителя. То есть, теоретически, она может находится и в левом тоже.
Поиск ближайшей точки с коррекцией радиуса
Скопипастим процедуру нахождения минимального радиуса, назовём по другому и модифицируем тело.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 |
// Найти индекс ближайшей точки с коррекцией // минимального радиуса procedure FindPoint(APoints: TList; ANode: PKdNode; APoint: PKdPoint; ADimCount: Integer; var ARadius: Single; var AIndex: Integer); var i: Integer; r,rr: Single; begin if ANode^.FLength > 0 then begin rr := Sqr(ARadius); for i := 0 to ANode^.FLength-1 do begin r := TKdTree.Distance(APoint, APoints[ANode.FPoints[i]], ADimCount); if r < rr then begin AIndex := ANode.FPoints[i]; rr := r; end; end; ARadius := Sqrt(rr); exit; end; // Точка теоретически может находится в левом поддереве if APoint^[ANode.FAxis]-ARadius <= ANode.FSplit then begin FindPoint(APoints, ANode.FLeft, APoint, ADimCount, ARadius, AIndex); if APoint^[ANode.FAxis]+ARadius <= ANode.FSplit then exit; end; // Точка теоретически может находится в правом поддереве if APoint^[ANode.FAxis]+ARadius >= ANode.FSplit then FindPoint(APoints, ANode.FRight, APoint, ADimCount, ARadius, AIndex); end; |
Здесь определяется возможность захода в одно из поддеревьев, либо сразу в оба, учитывая текущий радиус. В классических описаниях есть слова о более приоритетном поддереве, и менее. И вначале поиск идёт в более приоритетном. Но, честно говоря, смысла в этом особого не увидел.
Когда мы добираемся до листа, происходит перебор значений и корректируется радиус на более оптимальное значение и исходя из него, корректируется индекс ближайшей точки.
В принципе, можно уже использовать эту процедуру вместо FindRadius. Однако, в ряде случаев, например, когда точка имеет одинаковую координату по Y, использовать комбо — выгодней.
Что подразумеваю под комбо. Вначале тупо ищем минимальный радиус. Жёлтый круг. А потом по этому радиусу проходим уже только что написанной процедурой поиска ближайшей точки, куда передаём найденный радиус.
Вот что получилось в итоге:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 |
function TKdTree.FindNearest(APoint: PKdPoint): Integer; var R: Single; begin Result := -1; if FRoot=nil then exit; R := MaxSingle; // Ищем подходящий минимальный радиус FindRadius(FPoints, FRoot, APoint, FDimCount, R, Result); // Нашли радиус, продолжаем поиск if R < MaxSingle then begin R := Sqrt(R); FindPoint(FPoints, FRoot, APoint, FDimCount, R, Result); end; end; |
Результат в картинках:
Тот же самый массив данных, но не смотря на то, что находимся мало того, что в другом «прямоугольнике», так ещё и в другом измерении (красный — X, синий — Y), мы однозначно нашли и минимальный радиус (зелёный круг) и явно ближайшую точку.
Тестирование Kd-Tree
Чтобы протестировать правильность работы и оценить скорость поиска, сделал следующее. Нахожу индекс ближайшей точки через полный перебор и сравниваю с результатом поиска в Kd-Tree. Если индексы не совпадают, инкрементирую счётчик ошибки.
Считаем, что полный перебор — это истина в последней инстанции. Тут всё очень тривиально:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 |
// Поиск ближайшей точки полным перебором function Find(AList: TList; ADimCount: Integer; APoint: PKdPoint): Integer; var i: Integer; p: PKdPoint; D, R: Single; begin Result := -1; R := MaxSingle; for i := 0 to AList.Count-1 do begin p := AList[i]; D := TKdTree.Distance(APoint, p, ADimCount); if D < R then begin R := D; Result := i; end; end; end; |
Далее, я просто прохожу всю площадь отрисовки, нахожу индексы, сравниваю и вывожу в заголовок результат:
Позволю себе спрятать в спойлер, к статье уже имеет отношение весьма опосредованное. В демо есть сверху две кнопки 2D и 3D — это запуск теста на количество точек, которые указано в левом нижнем SpinEdit’е. Операция длительная и больше 100 000 точек лучше не заказывать.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 |
procedure TFmMain.Button3Click(Sender: TObject); var x, y, w, h: Integer; i1, i2, cnt: Integer; p: PKdPoint; begin if Sender = Button3 then cnt := 2 else {if Sender = Button4 then} cnt := 3; GenPointList(SpinEdit1.Value, cnt); w := pb.Width; h := pb.Height; cnt := 0; GetMem(p, FDimCount*SizeOf(Single)); try for y := 0 to h do begin for x := 0 to w do begin p^[0] := x; p^[1] := y; if FDimCount > 2 then p^[2] := FTree.MinPoint[2] + (FTree.MaxPoint[2]-FTree.MinPoint[2]) * Random; // Ищем индекс полным перебором StartMeasure('Find'); i1 := Find(FList, FDimCount, PKdPoint(@p)); StopMeasure('Find'); // Ищем индекс в Kd-Tree StartMeasure('FindNearest'); i2 := FTree.FindNearest(PKdPoint(@p)); StopMeasure('FindNearest'); // Сравниваем if i1 <> i2 then Inc(Cnt); end; end; finally FreeMem(p, FDimCount*SizeOf(Single)); // Выводим в заголовок число ошибок, // среднее время полного перебора и // среднее время поиска Kd-Tree Caption := 'Errors: ' + IntToStr(Cnt) + ' ' + GetMeasureText('Find') + ' x ' + GetMeasureText('FindNearest'); end; end; |
На 10 000 точек получилось следующее:
Как видим, ошибок ноль, при полном переборе одна операция поиска занимает в среднем 0.107 миллисекунд, одна операция поиска Kd-Tree пролетает за 0.002 миллисекунды.
На 100 000 точек, снова ошибок: 0, полный перебор: 1.082 msec, Kd-Tree: 0.016 msec.
Миллион точек завис на полчаса, но выдал такой результат:
На 1 000 000 точек, снова ошибок: 0, полный перебор: 8.675 msec, Kd-Tree: 0.272 msec.
Здесь учитывается и время поиска вне области, где вообще могут находиться точки. Там поиск дольше. В любом случае средние 1/5 миллисекунды на миллионе записей это очень хорошо. Сколько занимает поиск внутри объемлющего прямоугольника массива точек можно увидеть на скрине рис.8.: тысячные доли миллисекунды.
Я хотел в начале статьи на миллионе точек видеть поиск в 0.5 миллисекунд и построение Kd-Tree меньше секунды. По факту имеем поиск в два раза быстрее, чем хотелось. Построение дерева почти половина секунды, что также немыслимо хорошо )))
Почему выбрал именно такой подход
Почему нет приватного поля массива индексов
Да, резонно… А почему? Можно было бы не передавать параметром AIndices, всё равно работаем с одним массивом. Можно было бы вместо того, чтобы создавать в узле массив индексов, использовать индекс начала в приватном поле, например, некоем FIndices.
Тут есть одна проблема. Дерево мы строим на готовом массиве данных. А если придётся добавлять данные? Например, нам нужно проверять на дубль вставляемую точку. Как осуществлять вставку в дерево? Проблема совсем не тривиальная, как может показаться.
Если у нас есть в каждом листе свой массив индексов, то мы можем вполне себе динамично осуществить вставку индекса непосредственно в него, и если количество стало больше заданного — переразделить его на два узла. Эдакий кивок в сторону R-Tree. Конечно, при наступлении некоего предела, нам придётся пересоздать дерево, но на таких скоростях построения, это уже не существенно.
Носорог плохо видит, но при его массе, это уже не его проблемы.
Если бы у нас был «глобальный» массив индексов, который уже структурирован, то такой финт был бы очень дорогим удовольствием. Потому что нам пришлось бы искать диапазон на нём, и ради вставки нового индекса задавать размер+1 и сдвигать оставшуюся часть вправо.
Статья очень большая получилась, поэтому про вставку поговорим уже в следующий раз. Подписывайтесь на телегу, непременно сообщу туда о продолжении (если будет продолжение). И там просто интересно )))
Почему нет единого массива под узлы
В этом случае ведь не придётся тратить время на выделение памяти под каждый узел. Да, это правда. Но тут есть нюансы. Куда ж без них )))
Потому что может так случится, что при попытке выделить непрерывную память, равную длине массива данных помноженную на размер узла, всё свалится в Out of Memory. Ну не окажется такого большого непрерывного куска памяти. Но если мы щиплем память по чуть-чуть, то у меня отработал и 80-миллионный массив.
Тем более, что мы не знаем заранее сколько нам нужно узлов, поэтому запросим сразу возможный максимум. А это в худшем случае длина массива данных, помноженная на 2. Случай, когда в каждом листе у нас только один элемент.
Мне критичней размер данных, а скорость и так просто космическая.
Почему минимумы и максимумы существуют только как параметры
А зачем они мне вообще нужны? Они нужны только в момент построения, зачем во время построения мне их где-то ещё хранить? Если понадобится что-то дополнительное анализировать внутри рекурсии я сделаю какой-нибудь дополнительный параметр, типа ссылки на функцию, куда буду передавать текущие значения, включая и минимумы с максимумом.
Почему используется Single, а не Double или что-то ещё
Думаете экономия памяти? Не.
Просто в Delphi тип двумерной вещественной точки, это TPointF (System.Types). За трёхмерную точку отвечает тип TPoint3D (System.Math.Vectors). В качестве 4-мерной точки можно взять tagVECTOR3D (System.Math.Vectors). У всех них значение в измерении представлено типом Single.
Например:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 |
TPoint3D = record // Блок операторов и методов... case Integer of 0: (V: TPoint3DArray;); 1: (X: Single; Y: Single; Z: Single;); end; |
Любой из этих типов можно понять как PKdPoint. Например, у нас есть список с указателями на TPoint3D. Тогда запись PKdPoint(FList[0])^[0] — вернёт координату X нулевого элемента списка, PKdPoint(FList[0])^[1] — координату Y и PKdPoint(FList[0])^[2] — координату Z.
Мы можем создавать список (или массив) из привычных типов, родных для Delphi, не придумывая каких-то своих. У меня в Delphi 7 для вещественных точек был специальный тип TxPoint. Ну, что тут скажешь, он устарел и умер, с восторгом перешёл на TPointF.
Весь класс в одном спойлере
Класс представлен и с отрисовкой, и с разными методами, которые используются в статье. Если будет продолжение, то предоставлю вариант, который делает сухо-строго только то, для чего он был создан. Никаких вольностей в параметрах и холстов всяких там! )))
Сейчас он больше приспособлен для каких-то своих экспериментов. Экспериментируйте! )))
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 |
//****************************************************************************** // Project: IP76.RU // Created: 2023-05-11 // Article: https://ip76.ru/Kd-Tree //****************************************************************************** unit IP76.KdTree; interface uses System.SysUtils, System.Classes, System.Types, System.Generics.Defaults, System.Generics.Collections, Vcl.Graphics; type // K-мерная точка PKdPoint =^TKdPoint; TKdPoint = array[0..255] of Single; // Узел Kd-Tree PKdNode = ^TKdNode; TKdNode = packed record FAxis: Integer; // Измерение FSplit: Single; // Делитель в измерении // Длина массива индексов // Длина является одновременно признаком ветвь/лист // Если=0, значит это ветвь FLength: Integer; case Byte of 0: ( // Поля ветви FLeft: PKdNode; // Левое поддерево FRight: PKdNode;// Правое поддерево ); 1: ( // Поля листа FPoints: PIntegerArray; // Массив индексов FIndex: Integer; // Индекс, но не используется ); end; TKdTree = class strict private FRoot: PKdNode;// Корневой узел FPoints: TList;// Ссылка на список данных FDimCount: Integer; FMaxDepth: Integer; FMinPoint: TSingleDynArray; FMaxPoint: TSingleDynArray; FMaxLeafPointCount: Integer; FFirstFindNearestRadius: Single; FLastFindNearestRadius: Single; // Очистить и уничтожить узел procedure ClearNode(var ANode: PKdNode); // Создать и проинициализировать узел function NewNode(D: Integer): PKdNode; // Рекурсивно создать узлы дерева // на основе медианного деления function BuildNode(AIndices: TIntegerDynArray; i1, i2, ADepth: Integer; AMin, AMax: TSingleDynArray): PKdNode; // Рекурсивно создать узлы дерева // на основе половинного деления диапазона function BuildNodeEx(AIndices: TIntegerDynArray; i1, i2, ADepth: Integer; AMin, AMax: TSingleDynArray): PKdNode; public constructor Create; destructor Destroy; override; // Очистить дерево procedure Clear; // Построить дерево procedure Build(APoints: TList; ADimCount: Integer=2; AMaxLeafPointCount: Integer = 8; AModern: Boolean=False); // Найти индекс ближайшей точки function FindNearest(APoint: PKdPoint; AFindLastRadius: Boolean = True): Integer; // Нарисовать дерево (только для 2D и 3D) procedure Draw(ACanvas: TCanvas; ALeafOnly: Boolean); // Сумма квадратов разниц по каждому измерению class function Distance(P1, P2: PKdPoint; DimCount: Integer): Single; // Максимальная глубина дерева property Depth: Integer read FMaxDepth; // Количество измерений property DimCount: Integer read FDimCount; // Массив минимальных значений по измерениям property MinPoint: TSingleDynArray read FMinPoint; // Массив максимальных значений по измерениям property MaxPoint: TSingleDynArray read FMaxPoint; // Максимальное количество точек в листе property MaxLeafPointCount: Integer read FMaxLeafPointCount; // Первый минимальный радиус, найденный в процесс поиска property FirstFindNearestRadius: Single read FFirstFindNearestRadius; // Минимальный радиус, найденный в процесс поиска property LastFindNearestRadius: Single read FLastFindNearestRadius; end; implementation uses System.Math; { TKdTree } constructor TKdTree.Create; begin FRoot := nil; end; destructor TKdTree.Destroy; begin Clear; inherited; end; procedure TKdTree.ClearNode(var ANode: PKdNode); var L: Integer; begin if ANode = nil then exit; L := ANode^.FLength; if L = 0 then begin ClearNode(ANode^.FLeft); ClearNode(ANode^.FRight); end else if ANode^.FPoints <> nil then FreeMem(ANode^.FPoints, L*SizeOf(Integer)); Dispose(ANode); ANode := nil; end; procedure TKdTree.Clear; begin ClearNode(FRoot); end; function TKdTree.NewNode(D: Integer): PKdNode; begin New(Result); Result^.FAxis := D; Result^.FSplit := 0; Result^.FLength := 0; Result^.FLeft := nil; Result^.FRight := nil; end; function TKdTree.BuildNode(AIndices: TIntegerDynArray; i1, i2, ADepth: Integer; AMin, AMax: TSingleDynArray): PKdNode; var D,j,Len: Integer; V, S: Single; begin // Вычисляем текущее измерение D := ADepth mod DimCount; // Запоминаем максимальную глубину if ADepth > FMaxDepth then FMaxDepth := ADepth; // Создаём новый узел Result := NewNode(D); // Вычисляем длину фрагмента Len := i2-i1+1; // Разница между текущими границами измерения S := AMax[D]-AMin[D]; // Если длина фрагмента меньше либо равна // максимальному количеству точек в листе, // или разница границ измерения ничтожно мала, // то формируем лист и выходим if (Len <= FMaxLeafPointCount) or IsZero(S) then begin // Всё, это больше не ветвь. // Запоминаем длину выделяемой памяти Result^.FLength := Len; // Дай мне вот столько памяти GetMem(Result^.FPoints, Len*SizeOf(Integer)); // Запомнить начальный индекс (не пригодилось) Result^.FIndex := i1; // Перемещаем в выделенную память фрагмент из // переданного массива индексов Move(Pointer(@AIndices[i1])^, Pointer(@Result^.FPoints[0])^, Len*SizeOf(Integer)); // И выходим, ибо делать тут больше нечего exit; end; // Начало блока: Нахождение медианы массива // Сортировка фрагмента массива длины Len // начиная с индекса i1 TArray.Sort<Integer>(AIndices, TComparer<Integer>.Construct( function (const ALeft, ARight: Integer): Integer begin Result := Sign(PKdPoint(FPoints[ALeft])^[D] - PKdPoint(FPoints[ARight])^[D]); end ), i1, Len); // Середина отсортированного массива j := Len div 2; // Получаем значение разделителя для этого узла S := PKdPoint(FPoints[AIndices[i1+j-1]])^[D]; // Конец блока: Нахождение медианы массива // Запоминаем в узел найденный разделитель Result^.FSplit := S; // Запоминаем старое значение максимума V := AMax[D]; // Заменяем максимум найденным значением AMax[D] := S; // Вызываем рекурсию для строительства левого узла Result^.FLeft := BuildNode(AIndices, i1, i1+j-1, ADepth+1, AMin, AMax); // Восстанавливаем старое значение максимума AMax[D] := V; // Запоминаем старое значение минимума V := AMin[D]; // Заменяем минимум найденным значением AMin[D] := S; // Вызываем рекурсию для строительства правого узла Result^.FRight := BuildNode(AIndices, i1+j, i2, ADepth+1, AMin, AMax); // Восстанавливаем старое значение минимума AMin[D] := V; end; function TKdTree.BuildNodeEx(AIndices: TIntegerDynArray; i1, i2, ADepth: Integer; AMin, AMax: TSingleDynArray): PKdNode; // Поменять местами значения procedure Swap(var A,B: Integer); var tmp: Integer; begin tmp := A; A := B; B := tmp; end; var D,i,Len: Integer; LeftCount, RightCount: Integer; V,S: Single; LMax, RMin: Single; LMaxIdx, RMinIdx: Integer; begin // Выбор измерения по максимальной разнице D := 0; S := AMax[D]-AMin[D]; for i := 1 to DimCount-1 do begin V := AMax[i]-AMin[i]; if V > S then begin S := V; D := i; end; end; // Запоминаем максимальную глубину if ADepth > FMaxDepth then FMaxDepth := ADepth; Result := NewNode(D); Len := i2-i1+1; if (Len <= FMaxLeafPointCount) or IsZero(S) then begin Result^.FLength := Len; GetMem(Result^.FPoints, Len*SizeOf(Integer)); Result^.FIndex := i1; Move(Pointer(@AIndices[i1])^, Pointer(@Result^.FPoints[0])^, Len*SizeOf(Integer)); exit; end; // Начало - Вместо блока: Нахождение медианы массива // Вычисляем разделитель S := AMin[D] + S/2; // Счётчики точек для левой и правой областей LeftCount := 0; RightCount := 0; // Чтобы компилятор не доставал хинтами LMaxIdx := i2; RMinIdx := i1; // Инициализация границ для нахождения // максимального и минимального значений // при обработке случая "пустой" области LMax := -MaxSingle; RMin := MaxSingle; // Цикл в диапазоне i1..i2 for i := i1 to i2 do begin V := PKdPoint(FPoints[AIndices[i]])^[D]; // Значение в "левой" части if V <= S then begin // Максимум и его индекс в левой части if V > LMax then begin LMax := V; LMaxIdx := i; end; // Плюс одна точка в левой части Inc(LeftCount); end; // Значение в "правой" части if V > S then begin // Минимум и его индекс в правой части if V < RMin then begin RMin := V; RMinIdx := i; end; // Плюс одна точка в правой части Inc(RightCount); end; end; // В левой части точек не оказалось if LeftCount = 0 then begin // Берём разделителем минимальное правое значение S := RMin; // Закидываем его в самое "лево" фрагмента if RMinIdx <> i1 then Swap(AIndices[i1], AIndices[RMinIdx]); // Определяем индекс разделения LeftCount := i1+1; end else // В правой части точек не оказалось if RightCount = 0 then begin // Берём разделителем максимальное левое значение S := LMax; // Закидываем его в самый конец фрагмента if LMaxIdx <> i2 then Swap(AIndices[i2], AIndices[LMaxIdx]); // Определяем индекс разделения LeftCount := i2; end else // Точки есть и там, и там begin // Инициализируем уже как индексы (не счётчики) LeftCount := i1; RightCount := i2; // Надо раскидать индексы по разные стороны от разделителя // Будем увеличивать левый индекс и уменьшать правый // пока они не встретятся while LeftCount <= RightCount do begin // Значение в измерении D V := PKdPoint(FPoints[AIndices[LeftCount]])^[D]; if V <= S then // Значение слева, всё ок, // просто увеличиваем левый индекс Inc(LeftCount) else begin // Значение оказалось справа, меняем его местами // с текущим левым Swap(AIndices[LeftCount], AIndices[RightCount]); // И уменьшаем правый индекс Dec(RightCount); end; end; end; // Конец - Вместо блока: Нахождение медианы массива // Запоминаем в узел найденный разделитель Result^.FSplit := S; V := AMax[D]; AMax[D] := S; Result^.FLeft := BuildNodeEx(AIndices, i1, LeftCount-1, ADepth+1, AMin, AMax); AMax[D] := V; V := AMin[D]; AMin[D] := S; Result^.FRight := BuildNodeEx(AIndices, LeftCount, i2, ADepth+1, AMin, AMax); AMin[D] := V; end; procedure TKdTree.Build( APoints: TList; ADimCount: Integer=2; AMaxLeafPointCount: Integer = 8; AModern: Boolean=False); var i,j: Integer; A: TIntegerDynArray; V: Single; begin // Очистить дерево Clear; // Проверки на "вшивость" Assert((APoints<>nil) and (APoints.Count>0), 'Нет данных'); Assert(ADimCount>1, 'Мало измерений'); Assert(AMaxLeafPointCount>0, 'Мало точек для листа'); // Запоминаем число измерений FDimCount := ADimCount; // Максимальное количество точек в листе FMaxLeafPointCount := AMaxLeafPointCount; // Максимальная глубина ещё не определена FMaxDepth := -1; // Сохраняем указатель на массив точек FPoints := APoints; // Задаём размеры массивов SetLength(A, APoints.Count); SetLength(FMinPoint, FDimCount); SetLength(FMaxPoint, FDimCount); // Формируем массив индексов for i := 0 to High(A) do A[i] := i; // Инициализируем граничные значения for j := 0 to FDimCount-1 do begin FMinPoint[j] := MaxSingle; FMaxPoint[j] := -MaxSingle; end; // Вычисляем граничные значения for i := 0 to High(A) do for j := 0 to FDimCount-1 do begin V := PKdPoint(FPoints[A[i]])^[j]; if V < FMinPoint[j] then FMinPoint[j] := V; if V > FMaxPoint[j] then FMaxPoint[j] := V; end; // Рекурсивно построить дерево if AModern then // Модерн: деление диапазона пополам FRoot := BuildNodeEx(A, 0, High(A), 0, FMinPoint, FMaxPoint) else // Классика: медианное деление FRoot := BuildNode(A, 0, High(A), 0, FMinPoint, FMaxPoint); end; class function TKdTree.Distance(P1, P2: PKdPoint; DimCount: Integer): Single; var i: Integer; begin // Сумма квадратов разниц по каждому измерению Result := 0; for i := 0 to DimCount-1 do Result := Result + Sqr(P1^[i]-P2^[i]); end; // Найти подходящий минимальный радиус procedure FindRadius(APoints: TList; ANode: PKdNode; APoint: PKdPoint; ADimCount: Integer; var ARadius: Single; var AIndex: Integer); var i: Integer; r: Single; begin // Это лист if ANode^.FLength>0 then begin // Бежим по точкам листа for i := 0 to ANode^.FLength - 1 do begin // Получаем расстояние до нашей точки r := TKdTree.Distance(APoint, APoints[ANode.FPoints[i]], ADimCount); // Если меньше текущего минимума, сохраняем if r < ARadius then begin // Сохраняем индекс AIndex := ANode.FPoints[i]; // Сохраняем текущий минимум ARadius := r; end; end; end else // Это ветвь // Если значение точки в измерении текущего узла // меньше его разделителя, ищем в левом поддереве if APoint^[ANode.FAxis] <= ANode.FSplit then FindRadius(APoints, ANode.FLeft, APoint, ADimCount, ARadius, AIndex) else // В противном случае, ищем в правом FindRadius(APoints, ANode.FRight, APoint, ADimCount, ARadius, AIndex); end; // Найти индекс ближайшей точки с коррекцией // минимального радиуса procedure FindPoint(APoints: TList; ANode: PKdNode; APoint: PKdPoint; ADimCount: Integer; var ARadius: Single; var AIndex: Integer); var i: Integer; r,rr: Single; begin if ANode^.FLength > 0 then begin rr := Sqr(ARadius); for i := 0 to ANode^.FLength-1 do begin r := TKdTree.Distance(APoint, APoints[ANode.FPoints[i]], ADimCount); if r < rr then begin AIndex := ANode.FPoints[i]; rr := r; end; end; ARadius := Sqrt(rr); exit; end; // Точка теоретически может находится в левом поддереве if APoint^[ANode.FAxis]-ARadius <= ANode.FSplit then begin FindPoint(APoints, ANode.FLeft, APoint, ADimCount, ARadius, AIndex); if APoint^[ANode.FAxis]+ARadius <= ANode.FSplit then exit; end; // Точка теоретически может находится в правом поддереве if APoint^[ANode.FAxis]+ARadius >= ANode.FSplit then FindPoint(APoints, ANode.FRight, APoint, ADimCount, ARadius, AIndex); end; function TKdTree.FindNearest(APoint: PKdPoint; AFindLastRadius: Boolean = True): Integer; var R: Single; begin FFirstFindNearestRadius := -1; FLastFindNearestRadius := -1; Result := -1; if FRoot=nil then exit; R := MaxSingle; // Ищем подходящий минимальный радиус FindRadius(FPoints, FRoot, APoint, FDimCount, R, Result); FFirstFindNearestRadius := sqrt(R); // Нашли радиус, продолжаем поиск if AFindLastRadius and (R < MaxSingle) then begin R := Sqrt(R); FindPoint(FPoints, FRoot, APoint, FDimCount, R, Result); FLastFindNearestRadius := R; end; end; procedure TKdTree.Draw(ACanvas: TCanvas; ALeafOnly: Boolean); const Colors: array[0..2] of TColor = (clRed, clBlue, clGreen); procedure DrawNode(N: PKdNode; AMin, AMax: TSingleDynArray; ADepth: Integer); var rct: TRectF; p: PPointF; i,h: Integer; V: Single; begin if N = nil then exit; rct.TopLeft := PointF(AMin[0],AMin[1]); rct.BottomRight := PointF(AMax[0],AMax[1]); if N^.FLength>0 then begin ACanvas.Pen.Width := 1; ACanvas.Pen.Color := Colors[N.FAxis]; ACanvas.Rectangle(Round(rct.Left),Round(rct.Top), Round(rct.Right-1),Round(rct.Bottom-1)); h := N^.FLength-1; for i := 0 to h do begin p := FPoints[N^.FPoints[i]]; ACanvas.Ellipse(Round(p^.X-3),Round(p^.Y-3), Round(p^.X+3),Round(p^.Y+3)); end; end else begin if not ALeafOnly then begin ACanvas.Pen.Width := Round(((FMaxDepth-ADepth+1)/FDimCount) * 1.5); ACanvas.Pen.Color := Colors[N.FAxis]; ACanvas.Rectangle(Round(rct.Left),Round(rct.Top), Round(rct.Right-1),Round(rct.Bottom-1)); end; V := AMax[N^.FAxis]; AMax[N^.FAxis] := N^.FSplit; DrawNode(N^.FLeft, AMin, AMax, ADepth+1); AMax[N^.FAxis] := V; V := AMin[N^.FAxis]; AMin[N^.FAxis] := N^.FSplit; DrawNode(N^.FRight, AMin, AMax, ADepth+1); AMin[N^.FAxis] := V; end; end; begin if not (FDimCount in [2,3]) then exit; ACanvas.Brush.Style := bsClear; DrawNode(FRoot, FMinPoint, FMaxPoint, 0); end; end. |
Ссылки
Тут можно посмотреть теорию, расчёт производительности, прочую сопутствующую информацию. Если статья на английском, это не значит, что я читаю Шекспира в оригинале, это значит, что гугловский переводчик меня вполне устраивает.
Вики (теория + производительность)
Разделение пространства и K-мерные деревья (стоит заглянуть)
Kd-tree and Nearest neighbor (NN) search (2D case) (понравилось + производительность)
ЖЖ: KD-деревья и R-деревья (для общего представления)
StackOverflow: Поиск ближайшей точки (как всегда познавательно)
Скачать
Друзья, спасибо за внимание!
Исходник (zip) 68 Кб. Delphi XE 7, XE 10, XE 11
Исполняемый файл (zip) 936 Kб.
Небольшой гайд
Поле, где 100 — это количество точек в массиве, где 8 — это максимальное количество точек в листе, следующая кнопка — сгенерировать массив и дерево. После генерации в заголовке кнопке покажет сколько времени ушло на создание дерева (не массива). Only Tree — построить только дерево. Подразумевается, что массив уже есть.
Массив строится на основании радио-батонов сверху, хинты подскажут. Надо выбрать нужный и нажать кнопку генерации массива.
Галка Modern — дерево будет строится не по классике, супер-быстро, при генерации эта галка учитывается, так что перед генерацией имеет смысл её выставить. Leafs — рисует только листья.
Кнопки 2D и 3D сверху — это тесты, при нажатии будет взято запрашиваемое количество точек в массиве и число элементов в листе (поля 100 и 8 на рисунке), сами сгенерят массив и дерево и будут тестировать. Чем больше точек заказано, тем дольше можно курить.
Вроде на этом этапе всё )))